Optimización de beneficios e integración definida

**a) (2 puntos) Tenemos 4000 euros para invertir en dos fondos M y N. Sea $x$ la cantidad, en miles de euros, que invertimos en el fondo M e $y$ la cantidad, en miles de euros, que invertimos en el fondo N; así, se cumple $x + y = 4$. El beneficio que se obtiene, en euros, viene dado por $B = 10(2x + 1)^2y$. Determinar cuánto dinero tenemos que invertir en cada fondo para obtener el máximo beneficio y cuál será ese beneficio máximo.** El primer paso en un problema de optimización es expresar la función que queremos maximizar en términos de una sola variable. Sabemos que: 1. La función beneficio es $B(x, y) = 10(2x + 1)^2y$. 2. La restricción es $x + y = 4$, donde $x$ e $y$ están en miles de euros. Despejamos $y$ de la restricción: $$y = 4 - x$$ Sustituimos en la expresión de $B$: $$B(x) = 10(2x + 1)^2(4 - x)$$ Como las cantidades invertidas no pueden ser negativas, el dominio de nuestra función es $0 \le x \le 4$ (ya que si $x > 4$, entonces $y$ sería negativo). 💡 **Tip:** Identifica siempre la restricción para reducir el número de variables antes de derivar.

Para encontrar el máximo, derivamos $B(x)$ respecto a $x$. Utilizaremos la regla del producto y la regla de la cadena: $$B'(x) = 10 \cdot \left[ \frac{d}{dx}(2x+1)^2 \cdot (4-x) + (2x+1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(4-x) \right]$$ $$B'(x) = 10 \cdot \left[ 2(2x+1) \cdot 2 \cdot (4-x) + (2x+1)^2 \cdot (-1) \right]$$ $$B'(x) = 10 \cdot \left[ 4(2x+1)(4-x) - (2x+1)^2 \right]$$ Para facilitar los cálculos, factorizamos el término $(2x+1)$: $$B'(x) = 10(2x+1) \left[ 4(4-x) - (2x+1) \right]$$ $$B'(x) = 10(2x+1) [16 - 4x - 2x - 1]$$ $$B'(x) = 10(2x+1)(15 - 6x)$$ 💡 **Tip:** Factorizar antes de igualar a cero suele ser más rápido que desarrollar todo el polinomio.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$10(2x+1)(15-6x) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $2x + 1 = 0 \implies x = -0,5$ (No válida, ya que $x$ debe ser $\ge 0$). 2. $15 - 6x = 0 \implies 6x = 15 \implies x = \frac{15}{6} = 2,5$. Analizamos el signo de $B'(x)$ en el intervalo $[0, 4]$ para confirmar que es un máximo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2.5) & 2.5 & (2.5, 4)\\ \hline B'(x) & + & 0 & -\\ \hline B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Para $x=1$: $B'(1) = 10(3)(9) > 0$ (Creciente). - Para $x=3$: $B'(3) = 10(7)(-3) < 0$ (Decreciente). Por tanto, existe un **máximo relativo en $x = 2,5$**.

Calculamos los valores finales: - Inversión en fondo M: $x = 2,5$ miles de euros = **2500 euros**. - Inversión en fondo N: $y = 4 - 2,5 = 1,5$ miles de euros = **1500 euros**. Calculamos el beneficio máximo sustituyendo $x=2,5$ e $y=1,5$ en $B$: $$B = 10(2 \cdot 2,5 + 1)^2 \cdot 1,5 = 10(6)^2 \cdot 1,5 = 10 \cdot 36 \cdot 1,5 = 540 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Invertir 2500€ en M, 1500€ en N. Beneficio máximo: 540€}}$$

**b) (1,25 puntos) Calcular $\int_0^1 \left( \frac{5}{3x + 1} - \frac{4}{\sqrt{3x + 1}} \right) dx$** Separamos la integral en dos partes usando la propiedad de linealidad: $$I = \int_0^1 \frac{5}{3x+1} dx - \int_0^1 \frac{4}{\sqrt{3x+1}} dx$$ Para resolver estas integrales, recordamos que buscamos la forma $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)|$ y $\int f'(x) [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}$. En ambos casos, necesitamos un $3$ en el numerador (la derivada de $3x+1$): 1. Para la primera: $5 \int \frac{1}{3x+1} dx = \frac{5}{3} \int \frac{3}{3x+1} dx$ 2. Para la segunda: $4 \int (3x+1)^{-1/2} dx = \frac{4}{3} \int 3(3x+1)^{-1/2} dx$ 💡 **Tip:** Ajusta siempre las constantes para obtener la derivada de la función interna.

Calculamos las primitivas de cada término: - Primera parte: $$\int \frac{5}{3x+1} dx = \frac{5}{3} \ln|3x+1|$$ - Segunda parte: $$\int 4(3x+1)^{-1/2} dx = \frac{4}{3} \cdot \frac{(3x+1)^{1/2}}{1/2} = \frac{4}{3} \cdot 2\sqrt{3x+1} = \frac{8}{3} \sqrt{3x+1}$$ Por tanto, la primitiva general es: $$F(x) = \frac{5}{3} \ln|3x+1| - \frac{8}{3} \sqrt{3x+1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\frac{1}{\sqrt{u}} = u^{-1/2}$. Al integrar, sumamos 1 al exponente: $-1/2 + 1 = 1/2$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites $0$ y $1$: $$I = \left[ \frac{5}{3} \ln|3x+1| - \frac{8}{3} \sqrt{3x+1} \right]_0^1$$ Evaluamos en $x=1$: $$F(1) = \frac{5}{3} \ln(3(1)+1) - \frac{8}{3} \sqrt{3(1)+1} = \frac{5}{3} \ln(4) - \frac{8}{3} \sqrt{4} = \frac{5}{3} \ln(4) - \frac{16}{3}$$ Evaluamos en $x=0$: $$F(0) = \frac{5}{3} \ln(1) - \frac{8}{3} \sqrt{1} = \frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{8}{3} = -\frac{8}{3}$$ Restamos los valores: $$I = \left( \frac{5}{3} \ln 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( -\frac{8}{3} \right)$$ $$I = \frac{5}{3} \ln 4 - \frac{16}{3} + \frac{8}{3} = \frac{5}{3} \ln 4 - \frac{8}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = \frac{5 \ln 4 - 8}{3} \approx -0,357}$$ *(Nota: El resultado es negativo porque en la mayor parte del intervalo el segundo término de la función es mayor que el primero)*