Probabilidad y departamentos: Inglés en la empresa

Para resolver este tipo de problemas, lo primero es completar la tabla de contingencia con los totales por filas (inglés) y por columnas (departamentos). $$\begin{array}{|l|c|c|c||c|} \hline & \text{Adm.} & \text{Prod.} & \text{Vent.} & \text{Total} \\ \hline \text{Sabe inglés (I)} & 12 & 30 & 6 & \mathbf{48} \\ \hline \text{No sabe inglés (\bar{I})} & 4 & 11 & 1 & \mathbf{16} \\ \hline \hline \text{Total} & \mathbf{16} & \mathbf{41} & \mathbf{7} & \mathbf{64} \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** El total general debe coincidir sumando tanto la última fila ($16+41+7=64$) como la última columna ($48+16=64$).

**a) (1 punto) Elegimos al azar un trabajador de la empresa, ¿cuál es la probabilidad de que sepa inglés?** Aplicamos la regla de Laplace: $$P(\text{Sabe inglés}) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}}$$ Mirando nuestra tabla: - Trabajadores que saben inglés: $48$ - Total de trabajadores: $64$ $$P(I) = \frac{48}{64}$$ Simplificamos dividiendo entre 16: $$P(I) = \frac{3}{4} = 0.75$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(I) = 0.75}$$

**b) (1 punto) Elegimos al azar un trabajador de entre los que saben inglés, ¿cuál es la probabilidad de que sea del departamento de Ventas?** Este es un problema de **probabilidad condicionada**, ya que restringimos nuestro espacio muestral solo a los trabajadores que saben inglés. Sean los sucesos: - $I$: El trabajador sabe inglés. - $V$: El trabajador es de Ventas. Buscamos $P(V|I)$: $$P(V|I) = \frac{\text{Trabajadores de Ventas que saben inglés}}{\text{Total de trabajadores que saben inglés}}$$ Consultamos la tabla: - Ventas e Inglés ($V \cap I$): $6$ - Total Inglés ($I$): $48$ $$P(V|I) = \frac{6}{48}$$ Simplificamos dividiendo entre 6: $$P(V|I) = \frac{1}{8} = 0.125$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V|I) = 0.125}$$

**c) (0,75 puntos) Elegimos al azar un trabajador de la empresa. Sea A el suceso "el trabajador es del departamento de Administración" y B el suceso "el trabajador sabe inglés". ¿Son los sucesos A y B independientes?** Dos sucesos $A$ y $B$ son **independientes** si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos cada probabilidad por separado usando la tabla: 1. $P(A) = \frac{\text{Total Administración}}{\text{Total trabajadores}} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} = 0.25$ 2. $P(B) = \frac{\text{Total sabe inglés}}{\text{Total trabajadores}} = \frac{48}{64} = \frac{3}{4} = 0.75$ 3. $P(A \cap B) = \frac{\text{Administración y sabe inglés}}{\text{Total trabajadores}} = \frac{12}{64} = \frac{3}{16} = 0.1875$ Ahora comprobamos el producto: $$P(A) \cdot P(B) = 0.25 \cdot 0.75 = 0.1875$$ Como $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, podemos afirmar que los sucesos **son independientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A y B son independientes}}$$

**d) (0,75 puntos) Elegimos al azar (sin reemplazamiento) tres trabajadores de la empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo departamento?** Para que los tres sean del mismo departamento, pueden ser los tres de Administración ($A$), los tres de Producción ($P$) o los tres de Ventas ($V$). Al ser sin reemplazamiento, la probabilidad cambia en cada extracción. 1. **Probabilidad de 3 de Administración:** $$P(AAA) = \frac{16}{64} \cdot \frac{15}{63} \cdot \frac{14}{62} = \frac{3360}{249984}$$ 2. **Probabilidad de 3 de Producción:** $$P(PPP) = \frac{41}{64} \cdot \frac{40}{63} \cdot \frac{39}{62} = \frac{63960}{249984}$$ 3. **Probabilidad de 3 de Ventas:** $$P(VVV) = \frac{7}{64} \cdot \frac{6}{63} \cdot \frac{5}{62} = \frac{210}{249984}$$ La probabilidad total es la suma de estos tres casos mutuamente excluyentes: $$P(\text{mismo}) = \frac{3360 + 63960 + 210}{249984} = \frac{67530}{249984}$$ Calculamos el valor decimal aproximado: $$P(\text{mismo}) \approx 0.2701$$ 💡 **Tip:** Cuando es "sin reemplazamiento", el denominador y el numerador disminuyen en una unidad para la siguiente extracción si buscamos el mismo tipo de elemento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P \approx 0.2701}$$