Operaciones matriciales y matriz inversa

**a) (2 puntos) ¿Para qué valores de $x$ e $y$ se tiene $AB = C$?** Primero debemos calcular el producto de las matrices $A$ y $B$. Para que el producto sea posible, el número de columnas de $A$ (que es 3) debe coincidir con el número de filas de $B$ (que es 3). La matriz resultante será de dimensión $2 \times 2$. Calculamos elemento a elemento multiplicando filas de $A$ por columnas de $B$: $$AB = \begin{pmatrix} x & 1 & -2 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 0 \\ y & 2y \end{pmatrix}$$ - Elemento $(1,1)$: $x \cdot (-2) + 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot y = -2x - 1 - 2y$ - Elemento $(1,2)$: $x \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 2y = x - 4y$ - Elemento $(2,1)$: $4 \cdot (-2) + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot y = -8 - 1 = -9$ - Elemento $(2,2)$: $4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2y = 4$ Por tanto: $$AB = \begin{pmatrix} -2x - 2y - 1 & x - 4y \\ -9 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo y se realiza multiplicando los elementos de la fila $i$ por los de la columna $j$ y sumándolos.

Para que $AB = C$, todos los elementos correspondientes de ambas matrices deben ser iguales: $$\begin{pmatrix} -2x - 2y - 1 & x - 4y \\ -9 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -9 & 4 \end{pmatrix}$$ Observamos que los elementos de la segunda fila coinciden ($-9 = -9$ y $4 = 4$). Igualamos los elementos de la primera fila para obtener el sistema: $$\begin{cases} -2x - 2y - 1 = 2 \\ x - 4y = -3 \end{cases}$$ Simplificamos la primera ecuación pasando el $-1$ al otro lado: $$\begin{cases} -2x - 2y = 3 \\ x - 4y = -3 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Dos matrices son iguales si y solo si tienen la misma dimensión y todos sus elementos en las mismas posiciones son idénticos.

Resolvemos el sistema por el método de sustitución. Despejamos $x$ de la segunda ecuación: $$x = 4y - 3$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$-2(4y - 3) - 2y = 3$$ $$-8y + 6 - 2y = 3$$ $$-10y = 3 - 6$$ $$-10y = -3 \implies y = \frac{-3}{-10} = \frac{3}{10}$$ Ahora calculamos $x$: $$x = 4\left(\frac{3}{10}\right) - 3 = \frac{12}{10} - \frac{30}{10} = -\frac{18}{10} = -\frac{9}{5}$$ ✅ **Resultado (valores de x e y):** $$\boxed{x = -\frac{9}{5}, \quad y = \frac{3}{10}}$$

**b) (1,25 puntos) Calcular, si existe, la matriz inversa de C.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Dada $C = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -9 & 4 \end{pmatrix}$, calculamos su determinante: $$|C| = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -9 & 4 \end{vmatrix} = (2 \cdot 4) - (-3 \cdot -9)$$ $$|C| = 8 - 27 = -19$$ Como $|C| = -19 \neq 0$, **la matriz C es invertible**. 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria: $ad - bc$.

Usamos la fórmula de la matriz inversa: $$C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{Adj}(C)^t$$ 1. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(C)$: - $Adj_{11} = (-1)^{1+1} \cdot 4 = 4$ - $Adj_{12} = (-1)^{1+2} \cdot (-9) = 9$ - $Adj_{21} = (-1)^{2+1} \cdot (-3) = 3$ - $Adj_{22} = (-1)^{2+2} \cdot 2 = 2$ $$\text{Adj}(C) = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(C)^t = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante $|C| = -19$: $$C^{-1} = \frac{1}{-19} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4/19 & -3/19 \\ -9/19 & -2/19 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ rápida, la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo de la secundaria y dividiendo todo por el determinante. ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{C^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{19} & -\frac{3}{19} \\ -\frac{9}{19} & -\frac{2}{19} \end{pmatrix}}$$