Análisis del precio de una acción

**a) (0,25 puntos) El precio de la acción a las nueve y media.** El tiempo $x$ se mide en minutos desde las nueve de la mañana. Por tanto, las nueve y media corresponden a $x = 30$ minutos. Sustituimos este valor en la función $P(x)$: $$P(30) = 12 - \frac{2(30) - 8}{30^2 + 4(30) + 4}$$ Realizamos las operaciones: $$P(30) = 12 - \frac{60 - 8}{900 + 120 + 4} = 12 - \frac{52}{1024}$$ $$P(30) = 12 - 0,05078125 = 11,94921875$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de identificar correctamente el valor de la variable independiente $x$ antes de sustituir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(30) \approx 11,95 \text{ euros}}$$

**b) (1 punto) Entre las nueve y las diez de la mañana, ¿durante cuánto tiempo la acción ha tenido un precio mayor que 12 euros?** Debemos resolver la inecuación $P(x) \gt 12$: $$12 - \frac{2x - 8}{x^2 + 4x + 4} \gt 12$$ Restamos 12 en ambos miembros: $$- \frac{2x - 8}{x^2 + 4x + 4} \gt 0$$ Multiplicamos por $-1$ (recordando que el sentido de la desigualdad cambia): $$\frac{2x - 8}{x^2 + 4x + 4} \lt 0$$ Observamos que el denominador es un trinomio cuadrado perfecto: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$. Como $x \in [0, 60]$, este término siempre es positivo y distinto de cero. Por tanto, la fracción será negativa solo si el numerador lo es: $$2x - 8 \lt 0 \implies 2x \lt 8 \implies x \lt 4$$ Como el tiempo comienza en $x = 0$, el intervalo es $[0, 4)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Durante los primeros 4 minutos (de 9:00 a 9:04)}}$$

**c) (2 puntos) El máximo y mínimo precio que ha alcanzado la acción entre las nueve y las diez de la mañana.** Para hallar los extremos absolutos en el intervalo cerrado $[0, 60]$, primero calculamos la derivada $P'(x)$ para localizar los puntos críticos. Reescribimos $P(x)$ para derivar más fácilmente: $$P(x) = 12 - (2x - 8)(x + 2)^{-2}$$ Derivamos usando la regla del cociente (o del producto y cadena): $$P'(x) = - \left[ \frac{2(x+2)^2 - (2x-8) \cdot 2(x+2)}{(x+2)^4} \right]$$ Simplificamos un factor $(x+2)$: $$P'(x) = - \frac{2(x+2) - 2(2x-8)}{(x+2)^3} = - \frac{2x + 4 - 4x + 16}{(x+2)^3} = - \frac{-2x + 20}{(x+2)^3}$$ $$P'(x) = \frac{2x - 20}{(x+2)^3}$$ 💡 **Tip:** En una fracción, la derivada es cero si el numerador es cero: $f'(x) = 0 \iff \text{Numerador} = 0$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2x - 20 = 0 \implies x = 10$$ Analizamos el signo de $P'(x)$ en el dominio $[0, 60]$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 10) & 10 & (10, 60) \\ \hline P'(x) & - & 0 & + \\ \hline P(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0, 10)$, $P'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(10, 60)$, $P'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. Por tanto, en $x = 10$ hay un **mínimo relativo**.

Para encontrar los valores máximos y mínimos absolutos en el intervalo $[0, 60]$, evaluamos la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo: 1. **En $x = 0$ (9:00h):** $$P(0) = 12 - \frac{2(0) - 8}{(0+2)^2} = 12 - \frac{-8}{4} = 12 + 2 = 14 \text{ €}$$ 2. **En $x = 10$ (9:10h):** $$P(10) = 12 - \frac{2(10) - 8}{(10+2)^2} = 12 - \frac{12}{144} = 12 - \frac{1}{12} = \frac{143}{12} \approx 11,92 \text{ €}$$ 3. **En $x = 60$ (10:00h):** $$P(60) = 12 - \frac{2(60) - 8}{(60+2)^2} = 12 - \frac{112}{3844} \approx 12 - 0,029 = 11,971 \text{ €}$$ Comparando los valores: - El valor más alto es $14$. - El valor más bajo es $11,92$ (o $143/12$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: 14 € (a las 9:00). Mínimo: 11,92 € (a las 9:10)}}$$