Probabilidad y Estadística 2019 Aragon
Inferencia estadística: Intervalos de confianza para la proporción
3. (3,5 puntos) Se va a realizar un estudio de mercado para estimar la proporción de consumidores que conoce una determinada marca de yogures. Para ello se va a tomar una muestra aleatoria simple de consumidores, se va a preguntar a cada uno si conoce la marca y a partir de los resultados se construirá el intervalo de confianza correspondiente, a nivel de confianza del 91%.
a) (2 puntos) Si queremos que el intervalo no tenga una amplitud mayor que 0,08 ¿qué tamaño de la muestra debemos escoger?
b) (1,5 puntos) Decidimos tomar una muestra de tamaño 175 consumidores; les preguntamos y un total de 126 responden que conocen la marca. Calcular el intervalo de confianza al 91% para la proporción de consumidores que conocen la marca.
NOTA: En la tabla figuran los valores de $P(Z \leq k)$ para una distribución normal de media 0 y desviación típica 1. Si no encuentra el valor en la tabla, elija el más próximo y en el caso de que los valores por exceso y por defecto sean iguales considere la media aritmética de los valores correspondientes.
Paso 1
Cálculo del valor crítico crítico $z_{\alpha/2}$
Para ambos apartados necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $91\%$.
1. Identificamos el nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,91$.
2. Calculamos el nivel de significación: $\alpha = 1 - 0,91 = 0,09$.
3. Calculamos la probabilidad acumulada para el valor crítico:
$$P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0,09}{2} = 1 - 0,045 = 0,955$$
Buscamos el valor $0,955$ en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$. Observamos que:
- Para $k = 1,69$, $P(Z \leq 1,69) = 0,9545$
- Para $k = 1,70$, $P(Z \leq 1,70) = 0,9554$
Siguiendo la nota del enunciado, elegimos el valor más próximo. La diferencia con $1,69$ es $0,0005$ y con $1,70$ es $0,0004$. Por tanto, el valor más próximo es **1,70**.
💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja una probabilidad de $\alpha/2$ en cada cola de la distribución.
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,70}$$
Paso 2
Determinación del tamaño de la muestra (Apartado a)
**a) (2 puntos) Si queremos que el intervalo no tenga una amplitud mayor que 0,08 ¿qué tamaño de la muestra debemos escoger?**
La amplitud del intervalo de confianza es el doble del error máximo admisible ($A = 2E$). Si la amplitud debe ser menor o igual a $0,08$, el error debe ser:
$$E = \frac{0,08}{2} = 0,04$$
La fórmula del error para la proporción es:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}$$
Como no conocemos la proporción poblacional $p$, nos ponemos en el **caso más desfavorable** (máxima varianza), que ocurre cuando $p = 0,5$ y, por tanto, $q = 1 - p = 0,5$.
Sustituimos los valores conocidos:
$$0,04 = 1,70 \cdot \sqrt{\frac{0,5 \cdot 0,5}{n}}$$
💡 **Tip:** Siempre que el enunciado no dé una proporción previa o estimación de $p$, debemos usar $p=0,5$ para garantizar que el tamaño muestral sea suficiente.
Paso 3
Resolución de la ecuación para $n$
Despejamos $n$ de la ecuación anterior:
1. Pasamos el valor crítico dividiendo:
$$\frac{0,04}{1,70} = \sqrt{\frac{0,25}{n}}$$
2. Elevamos al cuadrado ambos miembros:
$$\left(\frac{0,04}{1,70}\right)^2 = \frac{0,25}{n} \implies 0,0005536 \approx \frac{0,25}{n}$$
3. Despejamos $n$:
$$n = \frac{0,25 \cdot 1,70^2}{0,04^2} = \frac{0,25 \cdot 2,89}{0,0016} = \frac{0,7225}{0,0016} = 451,5625$$
Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar que el error sea menor o igual al pedido, redondeamos siempre al alza.
✅ **Resultado (tamaño muestral):**
$$\boxed{n = 452}$$
Paso 4
Cálculo de la proporción muestral (Apartado b)
**b) (1,5 puntos) Decidimos tomar una muestra de tamaño 175 consumidores; les preguntamos y un total de 126 responden que conocen la marca. Calcular el intervalo de confianza al 91% para la proporción de consumidores que conocen la marca.**
Primero calculamos la proporción de la muestra (estimador puntual):
$$n = 175$$
$$\hat{p} = \frac{126}{175} = 0,72$$
Por tanto, la proporción complementaria es:
$$\hat{q} = 1 - 0,72 = 0,28$$
💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ se obtiene dividiendo el número de casos favorables entre el total de la muestra.
Paso 5
Cálculo del error y el intervalo de confianza
Calculamos el error para estos datos específicos con $z_{\alpha/2} = 1,70$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1,70 \cdot \sqrt{\frac{0,72 \cdot 0,28}{175}}$$
$$E = 1,70 \cdot \sqrt{\frac{0,2016}{175}} = 1,70 \cdot \sqrt{0,001152}$$
$$E \approx 1,70 \cdot 0,03394 \approx 0,0577$$
El intervalo de confianza se define como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$:
$$I.C. = (0,72 - 0,0577, 0,72 + 0,0577)$$
$$I.C. = (0,6623, 0,7777)$$
✅ **Resultado (Intervalo de confianza):**
$$\boxed{I.C. = (0,6623, 0,7777)}$$