Optimización de la producción: sillas y taburetes

Para resolver este problema de programación lineal, primero identificamos las variables de decisión que representan las cantidades que queremos determinar: - $x$: número de **sillas** a fabricar. - $y$: número de **taburetes** a fabricar. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, cada silla aporta 70 € y cada taburete 50 €. Por tanto, la **función objetivo** $B(x, y)$ es: $$B(x, y) = 70x + 50y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las unidades de las variables (en este caso, unidades físicas de muebles) y asegúrate de que la función objetivo represente lo que quieres maximizar o minimizar (en este caso, euros de beneficio).

A partir de los datos del enunciado, establecemos el sistema de inecuaciones que limitan nuestra producción: 1. **Madera:** Se dispone de un máximo de 72 kg. Cada silla usa 4 kg y cada taburete 2 kg. $$4x + 2y \le 72 \implies 2x + y \le 36$$ 2. **Tiempo de trabajo:** Se dispone de un máximo de 48 horas. Cada silla requiere 1 h y cada taburete 3 h. $$x + 3y \le 48$$ 3. **Producción mínima de sillas:** Al menos 6 sillas. $$x \ge 6$$ 4. **Producción mínima de taburetes:** Al menos 4 taburetes. $$y \ge 4$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones (como hemos hecho con la de la madera dividiendo entre 2) facilita mucho los cálculos posteriores y la representación gráfica.

La región factible es el conjunto de puntos $(x, y)$ que cumplen todas las restricciones a la vez. Para dibujarla, representamos las rectas asociadas y determinamos el semiplano correspondiente. - $r_1: 2x + y = 36$ (pasa por $(18, 0)$ y $(0, 36)$) - $r_2: x + 3y = 48$ (pasa por $(48, 0)$ y $(0, 16)$) - $r_3: x = 6$ (recta vertical) - $r_4: y = 4$ (recta horizontal) La intersección de estos semiplanos genera un polígono cuyos vértices evaluaremos para encontrar el máximo. 💡 **Tip:** En programación lineal, si existe una solución óptima, esta se encontrará siempre en uno de los vértices (o bordes) de la región factible.

Calculamos los puntos de corte de las rectas que limitan la región factible: - **Vértice A:** Intersección de $x=6$ e $y=4$. $$\mathbf{A(6, 4)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x=6$ y $x+3y=48$. $$6 + 3y = 48 \implies 3y = 42 \implies y = 14 \implies \mathbf{B(6, 14)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $2x+y=36$ y $x+3y=48$. Despejamos $y$ en la primera: $y = 36 - 2x$. Sustituimos en la segunda: $$x + 3(36 - 2x) = 48 \implies x + 108 - 6x = 48 \implies -5x = -60 \implies x = 12$$ $$y = 36 - 2(12) = 12 \implies \mathbf{C(12, 12)}$$ - **Vértice D:** Intersección de $2x+y=36$ e $y=4$. $$2x + 4 = 36 \implies 2x = 32 \implies x = 16 \implies \mathbf{D(16, 4)}$$.

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 70x + 50y$ en cada uno de los vértices hallados: - **$B(A) = B(6, 4)$:** $70(6) + 50(4) = 420 + 200 = 620$ € - **$B(B) = B(6, 14)$:** $70(6) + 50(14) = 420 + 700 = 1120$ € - **$B(C) = B(12, 12)$:** $70(12) + 50(12) = 840 + 600 = 1440$ € - **$B(D) = B(16, 4)$:** $70(16) + 50(4) = 1120 + 200 = 1320$ € El valor máximo se alcanza en el punto $C(12, 12)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Se deben fabricar } 12 \text{ sillas y } 12 \text{ taburetes} \\ \text{El beneficio máximo será de } 1440 \text{ euros} \end{matrix}}$$ 💡 **Tip:** Aunque en este caso la solución es entera, en problemas de programación lineal si la solución no fuera entera y las variables debieran serlo (como ocurre con muebles), habría que estudiar los puntos enteros cercanos dentro de la región factible.