Cálculo de parámetros en funciones e integrales definidas

**a) (2 puntos) Dada la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + 3x - 6$, con $x \in \mathbb{R}$, encontrar, si existen, $a$ y $b$ tales que $f$ tenga un máximo relativo en $x = -2$ con valor $f(-2) = -6$.** Para que la función tenga un máximo relativo en el punto $(-2, -6)$, deben cumplirse simultáneamente dos condiciones: 1. **Condición de punto:** La gráfica de la función debe pasar por el punto $(-2, -6)$, es decir, $f(-2) = -6$. 2. **Condición de extremo relativo:** En un máximo relativo, la derivada primera debe ser cero (siempre que la función sea derivable, lo cual es cierto al ser un polinomio), por lo que $f'(-2) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que $x_0$ sea un máximo o mínimo, la condición necesaria es $f'(x_0) = 0$. Además, para confirmar que es un máximo, se debería cumplir que $f''(x_0) \lt 0$.

Sustituimos $x = -2$ en la expresión de $f(x)$ e igualamos a $-6$: $$f(-2) = a(-2)^3 + b(-2)^2 + 3(-2) - 6 = -6$$ $$-8a + 4b - 6 - 6 = -6$$ $$-8a + 4b - 12 = -6$$ $$-8a + 4b = 6$$ Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación entre $2$: $$\boxed{-4a + 2b = 3} \quad \text{(Ecuación 1)}$$

Calculamos primero la derivada general de la función: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 3$$ Sustituimos $x = -2$ e igualamos a $0$ para que exista un punto crítico: $$f'(-2) = 3a(-2)^2 + 2b(-2) + 3 = 0$$ $$3a(4) - 4b + 3 = 0$$ $$12a - 4b + 3 = 0$$ $$\boxed{12a - 4b = -3} \quad \text{(Ecuación 2)}$$

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones: $$\begin{cases} -4a + 2b = 3 \\ 12a - 4b = -3 \end{cases}$$ Podemos multiplicar la primera ecuación por $2$ para usar el método de reducción: $$\begin{cases} -8a + 4b = 6 \\ 12a - 4b = -3 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(-8a + 12a) + (4b - 4b) = 6 - 3$$ $$4a = 3 \implies a = \frac{3}{4}$$ Sustituimos $a$ en la primera ecuación simplificada: $$-4\left(\frac{3}{4}\right) + 2b = 3$$ $$-3 + 2b = 3 \implies 2b = 6 \implies b = 3$$ 💡 **Tip:** No olvides verificar si se trata de un máximo calculando la segunda derivada: $f''(x) = 6ax + 2b$. Para $x = -2$, $f''(-2) = 6(3/4)(-2) + 2(3) = -9 + 6 = -3 \lt 0$. Al ser negativa, confirmamos que es un máximo relativo. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{a = \frac{3}{4}, \quad b = 3}$$

**b) (1,25 puntos) Calcular: $\int_0^1 \left( \frac{5x}{\sqrt{8x^2 + 1}} - 3xe^{-4x^2} \right) dx$** Por la propiedad de linealidad de las integrales, podemos separar el cálculo en dos partes: $$I = \int_0^1 \frac{5x}{\sqrt{8x^2 + 1}} dx - \int_0^1 3xe^{-4x^2} dx$$ Ambas son integrales de tipo cuasi-inmediato, ya que en el numerador/coeficiente tenemos la derivada (o parte de ella) de la función interna. 💡 **Tip:** Para integrar $\int f'(x) [f(x)]^n dx$, el resultado es $\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}$. Para la exponencial, $\int f'(x) e^{f(x)} dx = e^{f(x)}$.

Para la primera parte $I_1 = \int \frac{5x}{\sqrt{8x^2 + 1}} dx$: Reescribimos la raíz como potencia negativa: $5 \int x (8x^2 + 1)^{-1/2} dx$. La derivada de $8x^2 + 1$ es $16x$. Necesitamos un $16$ dentro de la integral, por lo que multiplicamos y dividimos por $16$: $$I_1 = \frac{5}{16} \int 16x (8x^2 + 1)^{-1/2} dx = \frac{5}{16} \cdot \frac{(8x^2 + 1)^{1/2}}{1/2}$$ $$I_1 = \frac{5}{16} \cdot 2 \sqrt{8x^2 + 1} = \frac{5}{8} \sqrt{8x^2 + 1}$$ $$\boxed{I_1 = \frac{5}{8} \sqrt{8x^2 + 1}}$$

Para la segunda parte $I_2 = \int 3xe^{-4x^2} dx$: La derivada del exponente $-4x^2$ es $-8x$. Necesitamos un $-8$ dentro de la integral: $$I_2 = 3 \cdot \frac{1}{-8} \int -8x e^{-4x^2} dx = -\frac{3}{8} e^{-4x^2}$$ $$\boxed{I_2 = -\frac{3}{8} e^{-4x^2}}$$

Combinamos ambas primitivas para obtener la primitiva general $G(x)$: $$G(x) = \frac{5}{8} \sqrt{8x^2 + 1} - \left( -\frac{3}{8} e^{-4x^2} \right) = \frac{5}{8} \sqrt{8x^2 + 1} + \frac{3}{8} e^{-4x^2}$$ Aplicamos los límites de integración de $0$ a $1$: $$\int_0^1 \dots dx = \left[ \frac{5}{8} \sqrt{8x^2 + 1} + \frac{3}{8} e^{-4x^2} \right]_0^1$$ Evaluamos en $x = 1$: $$G(1) = \frac{5}{8} \sqrt{8(1)^2 + 1} + \frac{3}{8} e^{-4(1)^2} = \frac{5}{8} \sqrt{9} + \frac{3}{8} e^{-4} = \frac{15}{8} + \frac{3}{8e^4}$$ Evaluamos en $x = 0$: $$G(0) = \frac{5}{8} \sqrt{8(0)^2 + 1} + \frac{3}{8} e^{-4(0)^2} = \frac{5}{8} \sqrt{1} + \frac{3}{8} e^0 = \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = 1$$ Calculamos la diferencia: $$I = \left( \frac{15}{8} + \frac{3}{8e^4} \right) - 1 = \frac{15}{8} - \frac{8}{8} + \frac{3}{8e^4} = \frac{7}{8} + \frac{3}{8e^4}$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{I = \frac{7e^4 + 3}{8e^4} \approx 0.8819}$$