Probabilidad condicionada y Teorema de la Probabilidad Total

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información en un diagrama de árbol. Definimos los sucesos: - $H$: Ser hombre. - $M$: Ser mujer. - $S$: Tener menos de 65 años (Sub-65). - $\bar{S}$: Tener 65 años o más. Datos del enunciado: - $P(H) = 0,493$ - $P(M) = 0,507$ - $P(S|H) = 0,809 \implies P(\bar{S}|H) = 1 - 0,809 = 0,191$ - $P(S|M) = 0,759 \implies P(\bar{S}|M) = 1 - 0,759 = 0,241$ 💡 **Tip:** En los problemas de probabilidad con varias etapas, el diagrama de árbol ayuda a visualizar todas las intersecciones posibles multiplicando las ramas.

**a) (0,75 puntos) Elegimos una persona de Aragón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer de menos de 65 años?** Buscamos la probabilidad de la intersección entre ser mujer ($M$) y ser menor de 65 años ($S$). Según la regla del producto: $$P(M \cap S) = P(M) \cdot P(S|M)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(M \cap S) = 0,507 \cdot 0,759$$ $$P(M \cap S) = 0,384813$$ Redondeando a cuatro decimales, obtenemos el resultado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cap S) = 0,3848}$$

**b) (1 punto) Elegimos una persona de Aragón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 65 años?** Para calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga menos de 65 años ($S$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Esto ocurre en dos casos: que sea hombre y menor de 65, o que sea mujer y menor de 65. $$P(S) = P(H) \cdot P(S|H) + P(M) \cdot P(S|M)$$ Calculamos cada término: - $P(H \cap S) = 0,493 \cdot 0,809 = 0,398837$ - $P(M \cap S) = 0,507 \cdot 0,759 = 0,384813$ Sumamos ambos resultados: $$P(S) = 0,398837 + 0,384813 = 0,78365$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes entre sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0,7837}$$

**c) (1 punto) Elegimos una persona de Aragón de entre las que tienen menos de 65 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar la probabilidad de ser mujer sabiendo que la persona pertenece al grupo de menores de 65 años, es decir, $P(M|S)$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(M|S) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)}$$ Utilizamos los valores obtenidos en los apartados anteriores: - $P(M \cap S) = 0,384813$ - $P(S) = 0,78365$ Sustituimos: $$P(M|S) = \frac{0,384813}{0,78365} \approx 0,491052$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|S) = 0,4911}$$

**d) (0,75 puntos) Si se eligen al azar (con reemplazamiento) tres personas de Aragón, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las tres sea mujer?** Al elegir tres personas con reemplazamiento, los sucesos son independientes. Sea $X$ el número de mujeres en las 3 personas elegidas. El suceso "al menos una mujer" ($X \ge 1$) es el suceso contrario de "ninguna mujer" ($X = 0$), lo cual equivale a que las tres personas sean hombres. Calculamos la probabilidad del suceso contrario: $$P(\text{Ninguna mujer}) = P(H \cap H \cap H) = P(H)^3$$ Como $P(H) = 0,493$: $$P(\text{Ninguna mujer}) = (0,493)^3 \approx 0,119822$$ Calculamos la probabilidad pedida usando el complementario: $$P(\text{Al menos una mujer}) = 1 - P(\text{Ninguna mujer})$$ $$P(\text{Al menos una mujer}) = 1 - 0,119822 = 0,880178$$ 💡 **Tip:** Siempre que pida la probabilidad de "al menos uno", es mucho más sencillo calcular $1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Al menos una mujer}) = 0,8802}$$