Problema de sistemas de ecuaciones y ecuación matricial

**A1. [1 punto] Plantear el sistema de ecuaciones que permite calcular el número de cajas de cada modelo que se pueden utilizar para enviar el pedido.** En primer lugar, definimos las incógnitas del problema: - $x$: número de cajas del modelo A. - $y$: número de cajas del modelo B. - $z$: número de cajas del modelo C. A partir del enunciado, establecemos las tres ecuaciones: 1. **Total de unidades:** Como en las cajas caben 5, 10 y 15 unidades respectivamente y el pedido es de 325: $$5x + 10y + 15z = 325$$ Esta ecuación se puede simplificar dividiendo entre 5: $x + 2y + 3z = 65$. 2. **Total de cajas:** Se dispone de 35 cajas en total: $$x + y + z = 35$$ 3. **Relación entre modelos:** El total de cajas A y B es seis veces el número de cajas C: $$x + y = 6z \implies x + y - 6z = 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones siempre que sea posible facilita enormemente los cálculos posteriores. ✅ **Sistema planteado:** $$\boxed{\begin{cases} x + 2y + 3z = 65 \\ x + y + z = 35 \\ x + y - 6z = 0 \end{cases}}$$

**A2. [1 punto] Analizar la compatibilidad de dicho sistema.** Escribimos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -6 \end{pmatrix}; \quad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 35 \\ 1 & 2 & 3 & 65 \\ 1 & 1 & -6 & 0 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $M$ por la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -6 \end{vmatrix} = [1 \cdot 2 \cdot (-6) + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + (-6) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|M| = [-12 + 3 + 1] - [2 + 3 - 6] = [-8] - [-1] = -7$$ Como $|M| = -7 \neq 0$, el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rang}(M) = 3$. Dado que el número de incógnitas es $n=3$, y la matriz ampliada $M^*$ no puede tener un rango mayor que su número de filas (3), concluimos que $\text{rang}(M) = \text{rang}(M^*) = 3 = n$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius indica que si el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la ampliada e igual al número de incógnitas, el sistema tiene una única solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (S.C.D.)}}$$

**A3. [0,5 puntos] Resolverlo.** Podemos resolverlo por el método de sustitución aprovechando la estructura de las ecuaciones: De la ecuación (3): $x + y = 6z$. Sustituimos esta expresión en la ecuación (2): $$(x + y) + z = 35 \implies 6z + z = 35 \implies 7z = 35 \implies z = 5$$ Ahora sustituimos $z=5$ en las ecuaciones (1) y (2) simplificadas: $$\begin{cases} x + 2y + 3(5) = 65 \implies x + 2y = 50 \\ x + y + 5 = 35 \implies x + y = 30 \end{cases}$$ Restamos la segunda a la primera: $$(x + 2y) - (x + y) = 50 - 30 \implies y = 20$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x + 20 = 30 \implies x = 10$$ ✅ **Solución:** $$\boxed{x = 10, \; y = 20, \; z = 5}$$

**A4. [0,5 puntos] ¿A cuánto ha ascendido la factura de compra de las cajas, sabiendo que una unidad del modelo A cuesta 4,5 euros; una del modelo B, 8 euros; y una del C, 12 euros?** Multiplicamos el número de cajas obtenido de cada modelo por su precio unitario: - Cajas A: $10 \times 4,5 = 45$ € - Cajas B: $20 \times 8 = 160$ € - Cajas C: $5 \times 12 = 60$ € Sumamos los importes: $$\text{Factura} = 45 + 160 + 60 = 265 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{265 \text{ €}}$$

**B. [0,5 puntos] Despejar la incógnita $X$ de la siguiente ecuación matricial: $B X B = B (X+A)$** Partimos de la ecuación: $$BXB = B(X + A)$$ Asumiendo que existe la matriz inversa $B^{-1}$, multiplicamos por la izquierda por $B^{-1}$ en ambos miembros: $$B^{-1}BXB = B^{-1}B(X + A)$$ Como $B^{-1}B = I$ (matriz identidad) e $IX = X$: $$XB = X + A$$ Agrupamos los términos con $X$ en el mismo lado de la igualdad: $$XB - X = A$$ Extraemos factor común $X$ por la izquierda. Para ello, recordamos que $X = XI$: $$X(B - I) = A$$ Suponiendo que la matriz $(B - I)$ es invertible, multiplicamos por su inversa $(B - I)^{-1}$ por la derecha en ambos miembros: $$X(B - I)(B - I)^{-1} = A(B - I)^{-1}$$ $$X \cdot I = A(B - I)^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los productos es fundamental. Si multiplicas por una inversa por la derecha en un miembro, debes hacerlo también por la derecha en el otro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = A(B - I)^{-1}}$$