Estudio completo de una función racional

**A. [0,2 puntos] Su dominio y los puntos de corte con los ejes OX y OY.** Para el **dominio**, al ser una función racional, buscamos los valores que anulan el denominador: $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4} \implies x = 2, \; x = -2$$ Por tanto, el dominio son todos los números reales excepto el $-2$ y el $2$: $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}}$$ **Puntos de corte:** 1. **Con el eje OY (ordenada en el origen):** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = \frac{0^2 + 1}{0^2 - 4} = \frac{1}{-4} = -0.25$$ El punto de corte es **$(0, -0.25)$**. 2. **Con el eje OX (abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$. $$\frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} = 0 \implies x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$$ No existe ninguna solución real para $x^2 = -1$. Por tanto, **no corta al eje OX**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una fracción sea cero, solo el numerador debe ser cero, siempre que ese valor esté en el dominio.

**B. [0,6 puntos] Las asíntotas.** **Asíntotas Verticales (AV):** Se encuentran en los puntos que no pertenecen al dominio, es decir, en $x = -2$ y $x = 2$. Calculamos los límites laterales: Para $x = -2$: $$\lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} = \frac{5}{0^+} = +\infty; \quad \lim_{x \to -2^+} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} = \frac{5}{0^-} = -\infty$$ Para $x = 2$: $$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} = \frac{5}{0^-} = -\infty; \quad \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} = \frac{5}{0^+} = +\infty$$ ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -2 \text{ y } x = 2}$$

**Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$$ Existe una asíntota horizontal en $y = 1$. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al existir asíntota horizontal en ambos lados ($x \to +\infty$ y $x \to -\infty$), **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la AH es el cociente de los coeficientes principales. Si hay AH, no puede haber AO. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 1}$$

**C. [1,1 puntos] Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.** Primero, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x)(x^2 - 4) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 4)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-10x}{(x^2 - 4)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: $$f'(x) = 0 \implies -10x = 0 \implies x = 0$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ y $(2, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline -10x & + & | & + & 0 & - & | & - \\ (x^2-4)^2 & + & | & + & + & + & | & + \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ \text{Función} & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ La función es **creciente** en $(-\infty, -2) \cup (-2, 0)$ y **decreciente** en $(0, 2) \cup (2, +\infty)$. Al cambiar de creciente a decreciente en $x = 0$, hay un **máximo relativo** en: $$f(0) = -0.25 \implies \boxed{M(0, -0.25)}$$

**D. [1,1 puntos] Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan.** Calculamos la segunda derivada $f''(x)$ partiendo de $f'(x) = \frac{-10x}{(x^2 - 4)^2}$: $$f''(x) = \frac{-10(x^2 - 4)^2 - (-10x) \cdot 2(x^2 - 4) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^4}$$ Sacamos factor común $(x^2-4)$ y simplificamos: $$f''(x) = \frac{(x^2 - 4) \left[ -10(x^2 - 4) + 40x^2 \right]}{(x^2 - 4)^4} = \frac{-10x^2 + 40 + 40x^2}{(x^2 - 4)^3} = \frac{30x^2 + 40}{(x^2 - 4)^3}$$ Buscamos puntos de inflexión haciendo $f''(x) = 0$: $$30x^2 + 40 = 0 \implies 30x^2 = -40 \implies x^2 = -4/3$$ No tiene solución real, por lo que **no hay puntos de inflexión**. Estudiamos el signo de $f''(x)$ considerando los puntos de discontinuidad del dominio ($x = \pm 2$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline 30x^2+40 & + & | & + & | & + \\ (x^2-4)^3 & + & | & - & | & + \\ \hline f''(x) & + & \nexists & - & \nexists & + \end{array}$$ - Es **convexa** ($\cup$) en $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ porque $f''(x) > 0$. - Es **cóncava** ($\cap$) en $(-2, 2)$ porque $f''(x) < 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Convexa: } (-\infty, -2) \cup (2, +\infty), \quad \text{Cóncava: } (-2, 2)}$$

**E. [0,5 puntos] Finalmente, con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibujar su gráfica.** Utilizamos toda la información recopilada: - Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$. - Asíntotas verticales: $x = -2$ y $x = 2$. - Asíntota horizontal: $y = 1$. - Corte OY y máximo relativo: $(0, -0.25)$. - Crecimiento y concavidad determinados en los pasos previos. 💡 **Tip:** Al dibujar, recuerda que la gráfica debe acercarse a las asíntotas pero nunca tocar las verticales.