Probabilidad y tabla de contingencia en entorno universitario

Para resolver este ejercicio de probabilidad, primero identificamos los sucesos principales a partir de los datos proporcionados en la tabla de contingencia: - $E$: El alumno pertenece al **Grado en Económicas**. - $A$: El alumno pertenece al **Grado en Administración y Dirección de Empresas (ADE)**. - $M$: El alumno **está matriculado** en el Centro de Idiomas. - $\overline{M}$: El alumno **no está matriculado** en el Centro de Idiomas. La tabla nos da las frecuencias absolutas (número de alumnos) para cada combinación de estos sucesos. El total de la muestra es $N = 360$ alumnos. 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, las probabilidades se calculan fácilmente usando la Regla de Laplace: $P(S) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$.

**A. [1 punto] ¿Calcular la probabilidad de que no esté matriculado en el Centro de Idiomas?** Para calcular esta probabilidad, debemos mirar el total de alumnos que no están matriculados en el Centro de Idiomas ($\overline{M}$) y dividirlo por el total de alumnos. Consultando la tabla, vemos que el total de no matriculados es $197$ y el total de alumnos es $360$. $$P(\overline{M}) = \frac{\text{Total no matriculados}}{\text{Total alumnos}} = \frac{197}{360}$$ Realizando la división: $$P(\overline{M}) \approx 0.5472$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\overline{M}) = \frac{197}{360} \approx 0.5472}$$

**B. [1 punto] Si sabemos que el alumno pertenece al Grado en Económicas, ¿cuál es la probabilidad de que esté inscrito en el Centro de Idiomas?** En este caso, se trata de una **probabilidad condicionada**. Sabemos de antemano que el alumno es de Económicas ($E$), por lo que nuestro espacio muestral se reduce solo a los $120$ alumnos de ese grado. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(M|E) = \frac{P(M \cap E)}{P(E)}$$ Mirando directamente la fila de 'G. Económicas' en la tabla: - Alumnos de Económicas matriculados en idiomas ($M \cap E$): $57$ - Total de alumnos de Económicas ($E$): $120$ $$P(M|E) = \frac{57}{120}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $3$: $$P(M|E) = \frac{19}{40} = 0.475$$ 💡 **Tip:** Cuando nos dan una tabla, la probabilidad condicionada $P(A|B)$ se puede calcular directamente como la frecuencia de $(A \cap B)$ dividida por el total de la fila o columna de $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|E) = 0.475}$$

**C. [1 punto] Calcular la probabilidad de que sea del Grado en Administración y D. de Empresas y no esté inscrito en el Centro de Idiomas.** Aquí buscamos la probabilidad de que ocurran dos cosas a la vez: que el alumno sea de ADE ($A$) **y** que no esté matriculado ($\overline{M}$). Esto es la probabilidad de la intersección $P(A \cap \overline{M})$. Buscamos en la tabla el dato donde se cruzan la fila de 'G. Adm. y D. Empresas' y la columna de 'No matriculados': - Alumnos de ADE no matriculados: $134$ - Total de alumnos: $360$ $$P(A \cap \overline{M}) = \frac{134}{360}$$ Simplificamos dividiendo entre $2$: $$P(A \cap \overline{M}) = \frac{67}{180}$$ Calculamos el valor decimal: $$P(A \cap \overline{M}) \approx 0.3722$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap \overline{M}) = \frac{67}{180} \approx 0.3722}$$