Sistemas con parámetros y propiedades de los determinantes

**A1. [2,5 puntos] Determinar, según los valores del parámetro $a$, los casos en los que tiene o no tiene solución y si esta es única o no.** Escribimos la matriz de coeficientes ($M$) y la matriz ampliada ($M^*$) del sistema: $$M = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}; \quad M^* = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & \frac{5a}{2} \\ 5 & 2 & a^2 \end{pmatrix}$$ El sistema tiene 2 incógnitas ($x, y$) y 3 ecuaciones. Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, debemos estudiar los rangos de $M$ y $M^*$. Calculamos primero el rango de $M$. Tomamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 3) - (4 \cdot 2) = -3 - 8 = -11 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz de coeficientes es constante: $$\text{rg}(M) = 2$$ 💡 **Tip:** Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas, el sistema solo podrá ser Compatible Determinado (si rg(M*) = 2) o Incompatible (si rg(M*) = 3).

Para que el sistema tenga solución, el rango de la matriz ampliada $M^*$ también debe ser 2. Esto ocurrirá cuando el determinante de $M^*$ sea igual a cero. Calculamos $|M^*|$ usando la regla de Sarrus: $$|M^*| = \begin{vmatrix} -1 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & \frac{5a}{2} \\ 5 & 2 & a^2 \end{vmatrix}$$ $$|M^*| = \left[(-1) \cdot 3 \cdot a^2 + 4 \cdot \frac{5a}{2} \cdot 5 + 6 \cdot 2 \cdot 2\right] - \left[6 \cdot 3 \cdot 5 + 4 \cdot 2 \cdot a^2 + (-1) \cdot \frac{5a}{2} \cdot 2\right]$$ $$|M^*| = (-3a^2 + 50a + 24) - (90 + 8a^2 - 5a)$$ $$|M^*| = -3a^2 + 50a + 24 - 90 - 8a^2 + 5a = -11a^2 + 55a - 66$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-11a^2 + 55a - 66 = 0$$ Dividimos toda la ecuación entre $-11$ para simplificar: $$a^2 - 5a + 6 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$ Las soluciones son **$a = 3$** y **$a = 2$**.

Aplicamos el Teorema de Rouché-Frobenius según los valores de $a$ obtenidos: 1. **Si $a \neq 2$ y $a \neq 3$**: - $|M^*| \neq 0 \implies \text{rg}(M^*) = 3$. - Como $\text{rg}(M) = 2 \neq \text{rg}(M^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (no tiene solución)**. 2. **Si $a = 2$ o $a = 3$**: - $|M^*| = 0 \implies \text{rg}(M^*) = 2$. - Como $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^*) = 2 = \text{nº de incógnitas}$, el sistema es **Compatible Determinado (solución única)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \in \mathbb{R} \setminus \{2, 3\} \implies \text{S. Incompatible} \\ a = 2 \text{ o } a = 3 \implies \text{S. Compatible Determinado} \end{cases}}$$

**A2. [0,5 puntos] Resolver los casos compatibles.** **Caso $a = 2$:** Sustituimos $a=2$ en las dos primeras ecuaciones (ya que el menor de orden 2 que usamos para el rango estaba ahí): $$\begin{cases} -x + 4y = 6 \\ 2x + 3y = \frac{5(2)}{2} = 5 \end{cases}$$ Resolvemos por reducción multiplicando la primera ecuación por 2: $$\begin{cases} -2x + 8y = 12 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$11y = 17 \implies y = \frac{17}{11}$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$-x + 4\left(\frac{17}{11}\right) = 6 \implies -x + \frac{68}{11} = 6$$ $$-x = 6 - \frac{68}{11} = \frac{66 - 68}{11} = -\frac{2}{11} \implies x = \frac{2}{11}$$ ✅ **Solución para $a=2$:** $$\boxed{x = \frac{2}{11}, y = \frac{17}{11}}$$

**Caso $a = 3$:** Sustituimos $a=3$ en las dos primeras ecuaciones: $$\begin{cases} -x + 4y = 6 \\ 2x + 3y = \frac{5(3)}{2} = \frac{15}{2} \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por 2: $$\begin{cases} -2x + 8y = 12 \\ 2x + 3y = 7.5 \end{cases}$$ Sumamos: $$11y = 12 + 7.5 = 19.5 \implies 11y = \frac{39}{2} \implies y = \frac{39}{22}$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$-x + 4\left(\frac{39}{22}\right) = 6 \implies -x + \frac{78}{11} = 6$$ $$-x = 6 - \frac{78}{11} = \frac{66 - 78}{11} = -\frac{12}{11} \implies x = \frac{12}{11}$$ ✅ **Solución para $a=3$:** $$\boxed{x = \frac{12}{11}, y = \frac{39}{22}}$$

**B1. [0,2 puntos] Calcular $|A^t B^{-1}|$** Utilizamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. El determinante de una matriz transpuesta es igual al de la matriz original: $|A^t| = |A|$. 2. El determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$. 3. El determinante de la matriz inversa es el recíproco del determinante: $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$. Calculamos: $$|A^t B^{-1}| = |A^t| \cdot |B^{-1}| = |A| \cdot \frac{1}{|B|}$$ Sustituimos los valores dados ($|A|=3, |B|=-2$): $$|A^t B^{-1}| = 3 \cdot \left(\frac{1}{-2}\right) = -\frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado B1:** $$\boxed{|A^t B^{-1}| = -1.5}$$

**B2. [0,1 puntos] $|D|$ siendo D la matriz resultante de multiplicar por 2 los elementos de la segunda columna de C.** Propiedad aplicada: Si se multiplican todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz por un número $k$, el determinante de la nueva matriz queda multiplicado por ese mismo número $k$. $$|D| = 2 \cdot |C|$$ Sustituimos $|C|=6$: $$|D| = 2 \cdot 6 = 12$$ ✅ **Resultado B2:** $$\boxed{|D| = 12}$$

**B3. [0,2 puntos] $|B^2 E|$ siendo E la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de A.** Propiedades aplicadas: 1. $|B^2| = |B \cdot B| = |B|^2$. 2. Si se intercambian dos filas o dos columnas entre sí, el determinante cambia de signo. Por tanto, $|E| = -|A|$. Calculamos: $$|B^2 E| = |B|^2 \cdot |E| = |B|^2 \cdot (-|A|)$$ Sustituimos $|B|=-2$ y $|A|=3$: $$|B^2 E| = (-2)^2 \cdot (-3) = 4 \cdot (-3) = -12$$ ✅ **Resultado B3:** $$\boxed{|B^2 E| = -12}$$