Optimización de beneficios y estudio de una función polinómica

**A. [1,75 puntos] Una empresa juguetera puede vender $x$ unidades al mes de un determinado modelo de tren eléctrico, al precio de $518-x^2$ euros por unidad. Por otra parte, el fabricante tiene gastos mensuales: unos fijos de 225 euros y otros de $275x$ euros que dependen del número $x$ de unidades. Hallar el número de unidades que maximizan el beneficio mensual. ¿A cuánto ascienden los ingresos?** Primero definimos las funciones de ingresos, costes y beneficios en función del número de unidades $x$: 1. **Ingresos $I(x)$:** Es el número de unidades por el precio unitario. $$I(x) = x \cdot (518 - x^2) = 518x - x^3$$ 2. **Costes $C(x)$:** Es la suma de los costes fijos y los variables. $$C(x) = 225 + 275x$$ 3. **Beneficio $B(x)$:** Es la diferencia entre ingresos y costes. $$B(x) = I(x) - C(x) = (518x - x^3) - (225 + 275x)$$ $$B(x) = -x^3 + 243x - 225$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el beneficio siempre es $B = \text{Ingresos} - \text{Costes}$. Ten cuidado con el paréntesis al restar el coste total.

Para hallar el máximo del beneficio, calculamos la derivada $B'(x)$ e igualamos a cero: $$B'(x) = -3x^2 + 243$$ $$-3x^2 + 243 = 0 \implies 3x^2 = 243 \implies x^2 = 81$$ $$x = \sqrt{81} = 9$$ (Descartamos la solución negativa $x = -9$ porque el número de unidades debe ser positivo). Para comprobar que es un máximo, usamos la segunda derivada: $$B''(x) = -6x$$ $$B''(9) = -6(9) = -54 \lt 0$$ Al ser la segunda derivada negativa, confirmamos que en $x = 9$ hay un **máximo relativo**. ✅ **Resultado (unidades):** $$\boxed{x = 9 \text{ unidades}}$$

Una vez sabemos que el máximo se alcanza con $x = 9$ unidades, calculamos los ingresos sustituyendo en la función $I(x)$: $$I(9) = 9 \cdot (518 - 9^2) = 9 \cdot (518 - 81) = 9 \cdot 437$$ $$I(9) = 3933 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado (ingresos):** $$\boxed{3933 \text{ euros}}$$

**B1. [0,1 puntos] Los puntos de corte con los ejes OX y OY.** Dada la función $f(x) = -2x^3 - 4x^2 + 6x$: * **Corte con el eje OY (hacemos $x=0$):** $$f(0) = -2(0)^3 - 4(0)^2 + 6(0) = 0 \implies \mathbf{(0,0)}$$ * **Corte con el eje OX (hacemos $f(x)=0$):** $$-2x^3 - 4x^2 + 6x = 0$$ Factorizamos extrayendo $-2x$: $$-2x(x^2 + 2x - 3) = 0$$ Esto nos da la solución $x=0$ y las soluciones de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ $x_1 = 1, \quad x_2 = -3$ ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(0,0), (1,0) \text{ y } (-3,0)}$$

**B2. [0,4 puntos] Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.** Calculamos la primera derivada: $$f'(x) = -6x^2 - 8x + 6$$ Igualamos a cero para hallar los puntos críticos: $$-6x^2 - 8x + 6 = 0 \implies 3x^2 + 4x - 3 = 0$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-3)}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{3}$$ Valores aproximados: $x_1 \approx 0.54$ y $x_2 \approx -1.87$. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1.87) & -1.87 & (-1.87, 0.54) & 0.54 & (0.54, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \text{Función} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ * **Decrecimiento:** $(-\infty, \frac{-2-\sqrt{13}}{3}) \cup (\frac{-2+\sqrt{13}}{3}, +\infty)$ * **Crecimiento:** $(\frac{-2-\sqrt{13}}{3}, \frac{-2+\sqrt{13}}{3})$ * **Mínimo relativo:** en $x \approx -1.87$ * **Máximo relativo:** en $x \approx 0.54$

**B3. [0,4 puntos] Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan.** Calculamos la segunda derivada e igualamos a cero: $$f''(x) = -12x - 8$$ $$-12x - 8 = 0 \implies x = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -2/3) & -2/3 & (-2/3, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - \\ \hline \text{Curvatura} & \cup (\text{Convexa}) & \text{P.I.} & \cap (\text{Cóncava}) \end{array}$$ ✅ **Resultado:** * **Convexa ($\\cup$):** $(-\infty, -2/3)$ * **Cóncava ($\\cap$):** $(-2/3, +\infty)$ * **Punto de inflexión:** en $x = -2/3$, con ordenada $f(-2/3) = -2(-2/3)^3 - 4(-2/3)^2 + 6(-2/3) = \frac{16}{27} - \frac{16}{9} - 4 = -\frac{140}{27} \approx -5.18$ $$\boxed{P.I.\left(-\frac{2}{3}, -\frac{140}{27}\right)}$$

**B4. [0,25 puntos] Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibujar su gráfica.** Utilizamos los puntos de corte $(-3,0), (0,0), (1,0)$ y el comportamiento de la monotonía para esbozar la curva.

**B5. [0,6 puntos] Calcular el área de la región delimitada por la curva y el eje OX.** El área está compuesta por dos recintos, ya que la función corta al eje en $x=-3, x=0$ y $x=1$. El área total es la suma de los valores absolutos de las integrales en cada intervalo: $$A = \left| \int_{-3}^{0} f(x) dx \right| + \left| \int_{0}^{1} f(x) dx \right|$$ Primero hallamos la integral indefinida (primitiva): $$F(x) = \int (-2x^3 - 4x^2 + 6x) dx = -\frac{x^4}{2} - \frac{4x^3}{3} + 3x^2 + C$$ Aplicamos la regla de Barrow: 1. **Recinto 1 ($[-3, 0]$):** $$I_1 = \left[ -\frac{x^4}{2} - \frac{4x^3}{3} + 3x^2 \right]_{-3}^{0} = 0 - \left( -\frac{81}{2} - \frac{4(-27)}{3} + 3(9) \right) = -( -40.5 + 36 + 27 ) = -22.5$$ Área$_1 = 22.5$ unidades$^2$. 2. **Recinto 2 ($[0, 1]$):** $$I_2 = \left[ -\frac{x^4}{2} - \frac{4x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{2} - \frac{4}{3} + 3 \right) - 0 = -\frac{3}{6} - \frac{8}{6} + \frac{18}{6} = \frac{7}{6}$$ Área$_2 = \frac{7}{6} \approx 1.167$ unidades$^2$. **Área total:** $$A = 22.5 + \frac{7}{6} = \frac{45}{2} + \frac{7}{6} = \frac{135 + 7}{6} = \frac{142}{6} = \frac{71}{3} \approx 23.67$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{71}{3} \approx 23.67 \text{ u}^2}$$