Intervalo de confianza y tamaño de la muestra

**A. [1,5 puntos] Obtener el intervalo de confianza del 93% para la renta media.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa el gasto mensual en alquiler: - La distribución es Normal: $X \sim N(\mu, \sigma)$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 73$ - Tamaño de la muestra: $n = 350$ - Media muestral: $\bar{x} = 689,3$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,93$ 💡 **Tip:** En los problemas de estimación de la media, siempre debemos identificar primero si conocemos la desviación típica de la población ($\sigma$). Como aquí nos la dan, utilizaremos la fórmula del intervalo de confianza basada en la distribución Normal estándar $Z$.

Para construir el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad entre $-z_{\alpha/2}$ y $z_{\alpha/2}$ sea $0,93$. 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0,93 \implies \alpha = 0,07$ 2. Calculamos $\alpha/2$: $\alpha/2 = 0,07 / 2 = 0,035$ 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal estándar $N(0,1)$ que deje a su izquierda una probabilidad de: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,035 = 0,965$ Buscando en la tabla: - Para $z = 1,81$, la probabilidad es $0,9649$. - Para $z = 1,82$, la probabilidad es $0,9656$. El valor más cercano es **$z_{\alpha/2} = 1,81$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para un nivel de confianza del $1-\alpha$, el área que buscamos en el cuerpo de la tabla normal es $1 - \frac{\alpha}{2}$.

La fórmula del error de estimación es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1,81 \cdot \frac{73}{\sqrt{350}} = 1,81 \cdot \frac{73}{18,708} \approx 1,81 \cdot 3,9021 = 7,0628$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (689,3 - 7,0628 \, ; \, 689,3 + 7,0628)$$ $$IC = (682,2372 \, ; \, 696,3628)$$ ✅ **Resultado (Apartado A):** $$\boxed{IC = (682,24 \, ; \, 696,36)}$$

**B. [1,5 puntos] ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 91% sea un tercio del obtenido en el apartado anterior?** El enunciado nos pide que el nuevo error ($E_{nuevo}$) sea un tercio del calculado anteriormente ($E_A = 7,0628$). $$E_{nuevo} = \frac{E_A}{3} = \frac{7,0628}{3} \approx 2,3543$$ Ahora tenemos un nuevo escenario: - Desviación típica (se mantiene): $\sigma = 73$ - Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,91$ - Error máximo permitido: $E = 2,3543$

Repetimos el proceso para encontrar el nuevo $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,91 \implies \alpha = 0,09$ 2. $\alpha/2 = 0,045$ 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,045 = 0,955$ Buscando en la tabla de la Normal estándar: - Para $z = 1,69$, la probabilidad es $0,9545$. - Para $z = 1,70$, la probabilidad es $0,9554$. Tomaremos el valor más próximo (o el superior para ser conservadores), en este caso usaremos **$z_{\alpha/2} = 1,70$**.

A partir de la fórmula del error, despejamos el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos del nuevo escenario: $$n = \left( \frac{1,70 \cdot 73}{2,3543} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{124,1}{2,3543} \right)^2 \approx (52,712)^2 \approx 2778,56$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser *como máximo* el indicado, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** Siempre que calcules el tamaño de una muestra $n$, si el resultado tiene decimales, redondea siempre hacia arriba para garantizar que el error sea menor o igual al exigido. ✅ **Resultado (Apartado B):** $$\boxed{n = 2779 \text{ inquilinos}}$$