Álgebra 2019 Cantabria
Discusión de sistemas con parámetros y propiedades de determinantes
OPCIÓN DE EXAMEN Nº 1
Ejercicio 1 [3,5 PUNTOS]
A. [3 PUNTOS] Una empresa que fabrica bombillas debe satisfacer un pedido de 450 unidades que empaqueta en cajas de tamaños distintos. Hay dos modelos de cajas, A y B, en los que caben respectivamente 15 y 20 unidades. Se dispone de un total de $k$ cajas. Además, el número de cajas del modelo A coincide con las dos terceras partes del total de cajas del modelo B. El sistema de ecuaciones lineales que permite calcular el número de cajas de cada modelo a utilizar para enviar el pedido, es el siguiente:
$$\begin{cases} 15x + 20y = 450 \\ x + y = k \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$$
Determinar, según el número total de cajas disponibles, (según los valores del parámetro $k$), los casos en los que el sistema tiene o no tiene solución, y si esta es única o no. Resolver el sistema cuando tenga solución.
B. [0,5 PUNTOS] Sean A y B dos matrices cuadradas de dimensión 3. Sus determinantes tienen como valor -3 y 10 respectivamente. Con estos datos, calcular:
B1. [0,25 PUNTOS] $|A^{-1} B^2|$
B2. [0,25 PUNTOS] $|CB^t|$, siendo C la matriz resultante de multiplicar la tercera fila de A por 6, y $B^t$ la matriz traspuesta de B.
Paso 1
Planteamiento de matrices y rangos
**A. [3 PUNTOS] Determinar, según el número total de cajas disponibles, (según los valores del parámetro $k$), los casos en los que el sistema tiene o no tiene solución, y si esta es única o no. Resolver el sistema cuando tenga solución.**
Para discutir el sistema, definimos la matriz de coeficientes ($M$) y la matriz ampliada ($M^*$):
$$M = \begin{pmatrix} 15 & 20 \\ 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}; \quad M^* = \begin{pmatrix} 15 & 20 & 450 \\ 1 & 1 & k \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$
El número de incógnitas es $n = 2$ ($x$ e $y$).
Primero analizamos el rango de $M$. Tomamos un menor de orden 2:
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 3 = -5 \neq 0.$$
Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz de coeficientes es **$rg(M) = 2$**.
💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor determinante no nulo que podemos extraer de ella.
Paso 2
Cálculo del determinante de la matriz ampliada
Para que el sistema sea compatible, el rango de la matriz ampliada $M^*$ también debe ser 2. Como $M^*$ es una matriz $3 \times 3$, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus:
$$|M^*| = \begin{vmatrix} 15 & 20 & 450 \\ 1 & 1 & k \\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$
$$|M^*| = (15 \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot (-2) \cdot 450) + (3 \cdot 20 \cdot k) - (450 \cdot 1 \cdot 3) - (k \cdot (-2) \cdot 15) - (0 \cdot 20 \cdot 1)$$
$$|M^*| = 0 - 900 + 60k - 1350 + 30k - 0 = 90k - 2250.$$
Igualamos a cero para encontrar el valor crítico de $k$:
$$90k - 2250 = 0 \implies 90k = 2250 \implies k = \frac{2250}{90} = 25.$$
$$\boxed{k = 25}$$
Paso 3
Discusión del sistema (Teorema de Rouché-Frobenius)
Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** según el valor de $k$:
1. **Si $k \neq 25$**:
- $|M^*| \neq 0$, por lo que $rg(M^*) = 3$.
- Como $rg(M) = 2$ y $rg(M^*) = 3$, entonces $rg(M) \neq rg(M^*)$.
- **El sistema es Incompatible (no tiene solución).**
2. **Si $k = 25$**:
- $|M^*| = 0$, por lo que $rg(M^*) = 2$.
- Como $rg(M) = 2$, $rg(M^*) = 2$ y el número de incógnitas es $n = 2$, se cumple $rg(M) = rg(M^*) = n$.
- **El sistema es Compatible Determinado (tiene una única solución).**
✅ **Resultado de la discusión:**
$$\boxed{\text{Si } k \neq 25: \text{ SI (No hay solución); Si } k = 25: \text{ SCD (Solución única)}}$$
Paso 4
Resolución del sistema para k = 25
Resolvemos el sistema cuando $k = 25$. Podemos usar cualquiera de las dos ecuaciones para hallar el valor de las incógnitas. Usaremos la segunda y la tercera ecuación por ser más sencillas:
$$\begin{cases} x + y = 25 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$$
De la segunda ecuación: $3x = 2y \implies x = \frac{2}{3}y$.
Sustituimos en la primera:
$$\frac{2}{3}y + y = 25 \implies \frac{2y + 3y}{3} = 25 \implies 5y = 75 \implies y = 15.$$
Calculamos $x$:
$$x = \frac{2}{3}(15) = 10.$$
Comprobamos en la primera ecuación original: $15(10) + 20(15) = 150 + 300 = 450$. Se cumple.
✅ **Solución del sistema:**
$$\boxed{x = 10, \quad y = 15}$$
Paso 5
Cálculo del determinante del apartado B1
**B. [0,5 PUNTOS] Sean A y B dos matrices cuadradas de dimensión 3. Sus determinantes tienen como valor -3 y 10 respectivamente. Con estos datos, calcular B1. [0,25 PUNTOS] $|A^{-1} B^2|$**
Utilizamos las propiedades de los determinantes:
1. El determinante del producto es el producto de los determinantes: $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$.
2. El determinante de la inversa es el inverso del determinante: $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$.
3. El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $|B^2| = |B|^2$.
$$|A^{-1} B^2| = |A^{-1}| \cdot |B^2| = \frac{1}{|A|} \cdot |B|^2$$
$$|A^{-1} B^2| = \frac{1}{-3} \cdot 10^2 = \frac{100}{-3} = -\frac{100}{3}.$$
💡 **Tip:** Estas propiedades son fundamentales en Bachillerato para evitar operar con matrices desconocidas.
✅ **Resultado B1:**
$$\boxed{|A^{-1} B^2| = -\frac{100}{3}}$$
Paso 6
Cálculo del determinante del apartado B2
**B2. [0,25 PUNTOS] $|CB^t|$, siendo C la matriz resultante de multiplicar la tercera fila de A por 6, y $B^t$ la matriz traspuesta de B.**
Aplicamos las siguientes propiedades:
1. Si multiplicamos una fila de una matriz por un número $k$, su determinante queda multiplicado por ese número: $|C| = 6 \cdot |A|$.
2. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: $|B^t| = |B|$.
Primero calculamos el determinante de $C$:
$$|C| = 6 \cdot |A| = 6 \cdot (-3) = -18.$$
Ahora calculamos el determinante del producto:
$$|CB^t| = |C| \cdot |B^t| = |C| \cdot |B| = (-18) \cdot 10 = -180.$$
✅ **Resultado B2:**
$$\boxed{|CB^t| = -180}$$