Estudio de parábola, cálculo de área y tipos de discontinuidad

**A1. [0,1 PUNTOS] Obtener los puntos de corte con los ejes OX y OY.** Para hallar los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = -x^2 + 3x + 5$: 1. **Corte con el eje OY (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = -(0)^2 + 3(0) + 5 = 5.$$ El punto de corte es **$(0, 5)$**. 2. **Corte con el eje OX (eje de abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$. $$-x^2 + 3x + 5 = 0.$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-1)(5)}}{2(-1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{-2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{-2}$$ Obtenemos dos valores aproximados: $$x_1 = \frac{-3 + 5.385}{-2} \approx -1.19, \quad x_2 = \frac{-3 - 5.385}{-2} \approx 4.19.$$ 💡 **Tip:** Los cortes con el eje OX son las raíces de la ecuación $f(x)=0$, mientras que el corte con el eje OY es simplemente el valor del término independiente en un polinomio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Corte OY: } (0, 5); \quad \text{Cortes OX: } \left(\frac{3 - \sqrt{29}}{2}, 0\right) \text{ y } \left(\frac{3 + \sqrt{29}}{2}, 0\right)}$$

**A2. [0,6 PUNTOS] Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.** Para estudiar el crecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$: $$f'(x) = -2x + 3.$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-2x + 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1.5) & 1.5 & (1.5, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 1.5)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(1.5, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. Como en $x = 1.5$ la función pasa de crecer a decrecer, existe un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $$f(1.5) = -(1.5)^2 + 3(1.5) + 5 = -2.25 + 4.5 + 5 = 7.25.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, 1.5); \quad \text{Decreciente: } (1.5, +\infty); \quad \text{Máximo: } (1.5, 7.25)}$$

**A3. [0,5 PUNTOS] Dibujar la región delimitada por la curva anterior y la recta $y = x-3$.** Primero, calculamos los puntos de intersección entre la parábola $f(x) = -x^2 + 3x + 5$ y la recta $g(x) = x - 3$: $$-x^2 + 3x + 5 = x - 3 \implies x^2 - 2x - 8 = 0.$$ Resolvemos: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \implies x_1 = 4, \, x_2 = -2.$$ Los puntos de corte son $(-2, -5)$ y $(4, 1)$. La región es el espacio encerrado entre la parábola (que queda por encima) y la recta. 💡 **Tip:** Para dibujar la parábola, usa el vértice $(1.5, 7.25)$ y los puntos de corte obtenidos anteriormente.

**A4. [1,7 PUNTOS] Calcular el área de la región anterior.** El área viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones (curva superior menos curva inferior) entre los puntos de corte $x = -2$ y $x = 4$: $$Area = \int_{-2}^{4} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-2}^{4} [(-x^2 + 3x + 5) - (x - 3)] \, dx$$ Simplificamos la expresión a integrar: $$Area = \int_{-2}^{4} (-x^2 + 2x + 8) \, dx.$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 8x \right]_{-2}^{4}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$F(4) = -\frac{4^3}{3} + 4^2 + 8(4) = -\frac{64}{3} + 16 + 32 = -\frac{64}{3} + 48 = \frac{-64 + 144}{3} = \frac{80}{3}.$$ $$F(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 8(-2) = \frac{8}{3} + 4 - 16 = \frac{8}{3} - 12 = \frac{8 - 36}{3} = -\frac{28}{3}.$$ $$Area = F(4) - F(-2) = \frac{80}{3} - \left( -\frac{28}{3} \right) = \frac{80 + 28}{3} = \frac{108}{3} = 36.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Area = 36 \text{ unidades}^2}$$

**B. [0,6 PUNTOS] Sea ahora la función $f(x) = \frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 2x - 15}$. ¿En qué puntos es discontinua? ¿Se puede definir de nuevo esta función para evitar alguna discontinuidad?** Una función racional es discontinua en los puntos que anulan su denominador: $$x^2 - 2x - 15 = 0 \implies (x - 5)(x + 3) = 0 \implies x = 5, \, x = -3.$$ La función es discontinua en **$x = 5$** y **$x = -3$**. Para ver si son evitables, factorizamos también el numerador: $$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3).$$ La función queda: $f(x) = \frac{(x - 4)(x + 3)}{(x - 5)(x + 3)}$. 1. **En $x = 5$:** $\lim_{x \to 5} f(x) = \frac{1 \cdot 8}{0} = \infty$. Es una **discontinuidad inevitable de salto infinito** (asíntota vertical). 2. **En $x = -3$:** $\lim_{x \to -3} f(x) = \lim_{x \to -3} \frac{x - 4}{x - 5} = \frac{-3 - 4}{-3 - 5} = \frac{-7}{-8} = \frac{7}{8}$. Al ser el límite un valor finito, es una **discontinuidad evitable**. Para evitarla, redefinimos la función asignando el valor del límite en ese punto: ✅ **Resultado:** $$f(x)=\begin{cases} \frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 2x - 15} & \text{si } x \neq -3, 5 \\ \frac{7}{8} & \text{si } x = -3 \end{cases}$$