Intervalo de confianza y tamaño muestral

**A. [1,5 PUNTOS] Obtener el intervalo de confianza del 92 % para la edad media de los asistentes.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa la edad de los asistentes: - La población sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 3$. - Tamaño de la muestra: $n = 350$. - Media muestral: $\bar{x} = 64,3$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,92$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Si el nivel de confianza es del $92\%$, entonces $\alpha = 0,08$ y $\alpha/2 = 0,04$. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,04 = 0,96.$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, observamos que para una probabilidad de $0,9599$ (el valor más próximo a $0,96$), el valor de $z$ es $1,75$. 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor de la abscisa que deja a su derecha un área de $\alpha/2$. En este caso, para un $92\%$ central, queda un $4\%$ en cada extremo. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,75}$$

Calculamos el error máximo admisible $E$ mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1,75 \cdot \frac{3}{\sqrt{350}} \approx 1,75 \cdot \frac{3}{18,708} \approx 1,75 \cdot 0,1604 = 0,2807.$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$\text{I.C.} = (64,3 - 0,2807; \, 64,3 + 0,2807)$$ $$\text{I.C.} = (64,0193; \, 64,5807)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que cuanto mayor es el tamaño de la muestra ($n$), menor es el error y más preciso es el intervalo. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{\text{I.C.}_{92\%} = (64,02; \, 64,58)}$$

**B. [1,5 PUNTOS] ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra si deseamos que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 98 % sea de 0,7?** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98 \implies \alpha = 0,02 \implies \alpha/2 = 0,01$. - Error máximo permitido: $E = 0,7$. - Desviación típica: $\sigma = 3$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,01 = 0,99.$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0,99$ está entre $2,32$ ($0,9898$) y $2,33$ ($0,9901$). Tomaremos el valor más conservador o el más cercano: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,33}$$ 💡 **Tip:** Al aumentar el nivel de confianza, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ aumenta, lo que obligará a tener una muestra más grande para mantener un error pequeño.

Partimos de la fórmula del error y despejamos el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos: $$n = \left( \frac{2,33 \cdot 3}{0,7} \right)^2 = \left( \frac{6,99}{0,7} \right)^2 = (9,9857)^2 \approx 99,71.$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos el tamaño **mínimo** para no superar ese error, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n \ge 100 \text{ espectadores}}$$