Optimización de ingresos en producción textil

**¿Cuántos rollos de tela de cada tipo de estampado debe producir para obtener unos ingresos máximos?** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de rollos de tela del estampado **A**. - $y$: número de rollos de tela del estampado **B**. El objetivo es maximizar los ingresos totales. Según el enunciado, cada rollo de tipo A genera 30 € y cada uno de tipo B genera 20 €. Por tanto, la **función objetivo** $I(x, y)$ es: $$I(x, y) = 30x + 20y$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente las variables es el primer paso fundamental en cualquier problema de programación lineal.

Traducimos las condiciones del enunciado a un sistema de inecuaciones lineales: 1. **Demanda mínima de A:** Al menos 50 rollos de A $\implies x \ge 50$ 2. **Demanda mínima de B:** Al menos 50 rollos de B $\implies y \ge 50$ 3. **Relación entre A y B:** El número de rollos de B ($y$) no debe ser inferior (es decir, debe ser mayor o igual) a la mitad de los de A ($x/2$) $\implies y \ge \dfrac{x}{2} \implies x - 2y \le 0$ 4. **Capacidad del almacén:** El total de rollos no puede superar los 375 $\implies x + y \le 375$ Además, por la naturaleza del problema, las variables deben ser no negativas ($x \ge 0, y \ge 0$), aunque estas ya están implícitas en las restricciones de demanda mínima. El sistema de restricciones que define la **región factible** es: $$\begin{cases} x \ge 50 \\ y \ge 50 \\ x - 2y \le 0 \\ x + y \le 375 \end{cases}$$

Para encontrar la solución óptima, representamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes: - **Vértice A:** Intersección de $x = 50$ y $y = 50$. Resolviendo: $x = 50, y = 50$. Punto $\mathbf{A(50, 50)}$. - **Vértice B:** Intersección de $y = 50$ y $y = x/2$. Sustituyendo $y=50$: $50 = x/2 \implies x = 100$. Punto $\mathbf{B(100, 50)}$. - **Vértice C:** Intersección de $y = x/2$ y $x + y = 375$. Sustituyendo $y = 0.5x$ en la segunda: $x + 0.5x = 375 \implies 1.5x = 375 \implies x = 250$. Entonces $y = 250 / 2 = 125$. Punto $\mathbf{C(250, 125)}$. - **Vértice D:** Intersección de $x + y = 375$ y $x = 50$. Sustituyendo $x = 50$: $50 + y = 375 \implies y = 325$. Punto $\mathbf{D(50, 325)}$. Visualizamos la región factible:

Evaluamos la función de ingresos $I(x, y) = 30x + 20y$ en cada uno de los vértices hallados: - **En A(50, 50):** $I(50, 50) = 30(50) + 20(50) = 1500 + 1000 = 2500$ € - **En B(100, 50):** $I(100, 50) = 30(100) + 20(50) = 3000 + 1000 = 4000$ € - **En C(250, 125):** $I(250, 125) = 30(250) + 20(125) = 7500 + 2500 = 10000$ € - **En D(50, 325):** $I(50, 325) = 30(50) + 20(325) = 1500 + 6500 = 8000$ € Comparando los resultados, el ingreso máximo se obtiene en el vértice $C(250, 125)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal establece que, si existe una solución óptima, esta se encontrará en uno de los vértices (o en un segmento que los une) de la región factible. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe producir 250 rollos del estampado A y 125 rollos del B para un ingreso máximo de 10.000 €}}$$