Continuidad con parámetros y estudio de asíntotas

**A. [1,75 PUNTOS] Dada la función, determinar los valores de $a$ y $b$ para los que la función es continua en $x = -2$ y en $x = 0$.** Para que una función sea continua en un punto $x = c$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto, $f(c)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales, es decir, que exista $\lim_{x \to c} f(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$. Estudiamos primero el punto **$x = -2$**: - **Límite por la izquierda ($x \to -2^-$):** Usamos la primera rama $-6x + 3$. $$\lim_{x \to -2^-} (-6x + 3) = -6(-2) + 3 = 12 + 3 = 15$$ - **Límite por la derecha y valor de la función ($x \to -2^+$):** Usamos la segunda rama $x^2 + ax + 5$. $$\lim_{x \to -2^+} (x^2 + ax + 5) = f(-2) = (-2)^2 + a(-2) + 5 = 4 - 2a + 5 = 9 - 2a$$ 💡 **Tip:** Para que no haya un "salto" en la gráfica, ambos valores deben ser iguales.

Igualamos los límites laterales obtenidos para $x = -2$: $$15 = 9 - 2a$$ Resolvemos la ecuación para despejar $a$: $$2a = 9 - 15$$ $$2a = -6$$ $$a = \frac{-6}{2} = -3$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = -3}$$

Ahora estudiamos el punto **$x = 0$** utilizando el valor de $a = -3$ que ya conocemos: - **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** Usamos la segunda rama $x^2 - 3x + 5$. $$\lim_{x \to 0^-} (x^2 - 3x + 5) = 0^2 - 3(0) + 5 = 5$$ - **Límite por la derecha y valor de la función ($x \to 0^+$):** Usamos la tercera rama $\frac{x + 15}{x + b}$. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x + 15}{x + b} = f(0) = \frac{0 + 15}{0 + b} = \frac{15}{b}$$ Para que la función sea continua en $x = 0$, igualamos los resultados: $$5 = \frac{15}{b}$$ $$5b = 15 \implies b = \frac{15}{5} = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $b$ no puede ser $0$ en este caso, ya que si $b=0$, la función no estaría definida en $x=0$ y habría una asíntota. ✅ **Resultado Final Apartado A:** $$\boxed{a = -3, \quad b = 3}$$

**B. [1,75 PUNTOS] Determinar las asíntotas de la función $f(x) = \frac{2x^2 + 5}{x^2 + 4x - 21}$. Si existen asíntotas verticales, esbozar la posición de la gráfica respecto a las mismas, calculando previamente los límites laterales correspondientes.** Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que anulan el denominador y no anulan el numerador. Resolvemos $x^2 + 4x - 21 = 0$ usando la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-21)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-14}{2} = -7$$ Como el numerador $2x^2 + 5$ nunca es cero (siempre es positivo), ambos valores son candidatos a asíntotas verticales. ✅ **Asíntotas Verticales:** $$\boxed{x = 3, \quad x = -7}$$

Para esbozar la posición, calculamos los límites laterales. Para facilitar el cálculo de signos, escribimos el denominador factorizado: $x^2 + 4x - 21 = (x-3)(x+7)$. **En $x = 3$:** - **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 3^-} \frac{2x^2 + 5}{(x-3)(x+7)} = \frac{23}{0^- \cdot 10} = \frac{23}{0^-} = -\infty$ - **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 3^+} \frac{2x^2 + 5}{(x-3)(x+7)} = \frac{23}{0^+ \cdot 10} = \frac{23}{0^+} = +\infty$ **En $x = -7$:** - **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to -7^-} \frac{2x^2 + 5}{(x-3)(x+7)} = \frac{103}{-10 \cdot 0^-} = \frac{103}{0^+} = +\infty$ - **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to -7^+} \frac{2x^2 + 5}{(x-3)(x+7)} = \frac{103}{-10 \cdot 0^+} = \frac{103}{0^-} = -\infty$ 💡 **Tip:** Para saber si es $0^+$ o $0^-$, sustituye por un valor muy próximo, por ejemplo $2,9$ para $3^-$ o $-7,1$ para $-7^-$.

**Asíntotas Horizontales:** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 5}{x^2 + 4x - 21} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2$$ Como el límite es un número finito, existe una asíntota horizontal en $y = 2$. **Asíntotas Oblicuas:** Dado que existe una asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas** en esa dirección (el grado del numerador no es exactamente uno más que el del denominador). ✅ **Resultado Final Apartado B:** $$\boxed{\text{AV: } x=3, x=-7; \quad \text{AH: } y=2; \quad \text{AO: No tiene}}$$