Cálculo de probabilidades: Urnas y Teorema de Bayes

Primero, definimos los sucesos que intervienen en el experimento: - $U_I$: Elegir la urna I. - $U_{II}$: Elegir la urna II. - $N$: Extraer una bola negra. - $R$: Extraer una bola roja. - $A$: Extraer una bola amarilla. Calculamos las probabilidades de elegir cada urna basándonos en el lanzamiento del dado: - Salir 1, 3 o 5 (3 casos favorables de 6): $P(U_I) = \frac{3}{6} = 0,5$. - Salir 2, 4 o 6 (3 casos favorables de 6): $P(U_{II}) = \frac{3}{6} = 0,5$. Ahora, definimos las probabilidades de extraer cada color según la urna: - Urna I (10 bolas en total): $P(N|U_I) = \frac{2}{10}$, $P(R|U_I) = \frac{3}{10}$, $P(A|U_I) = \frac{5}{10}$. - Urna II (10 bolas en total): $P(N|U_{II}) = \frac{3}{10}$, $P(R|U_{II}) = \frac{4}{10}$, $P(A|U_{II}) = \frac{3}{10}$. Representamos el experimento mediante un **árbol de probabilidad**:

**A. [1 PUNTO] Calcular la probabilidad que tenemos de extraer una bola amarilla.** Para calcular la probabilidad de un suceso final (bola amarilla), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La bola amarilla puede venir de la Urna I o de la Urna II: $$P(A) = P(U_I) \cdot P(A|U_I) + P(U_{II}) \cdot P(A|U_{II})$$ Sustituimos con los valores obtenidos del árbol: $$P(A) = 0,5 \cdot 0,5 + 0,5 \cdot 0,3$$ $$P(A) = 0,25 + 0,15 = 0,4$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos o causas incompatibles entre sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0,4}$$

**B. [1 PUNTO] Si hemos extraído una bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído de la urna I?** Nos piden la probabilidad de una causa dado un efecto, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(U_I|R) = \frac{P(U_I \cap R)}{P(R)} = \frac{P(U_I) \cdot P(R|U_I)}{P(R)}$$ Primero calculamos la probabilidad total de extraer una bola roja, $P(R)$: $$P(R) = P(U_I) \cdot P(R|U_I) + P(U_{II}) \cdot P(R|U_{II})$$ $$P(R) = 0,5 \cdot 0,3 + 0,5 \cdot 0,4 = 0,15 + 0,20 = 0,35$$ Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(U_I|R) = \frac{0,5 \cdot 0,3}{0,35} = \frac{0,15}{0,35}$$ Simplificamos la fracción: $$P(U_I|R) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \approx 0,4286$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(U_I|R) = \frac{3}{7} \approx 0,4286}$$

**C. [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola amarilla de la urna II?** En este apartado nos piden la probabilidad de la **intersección** de dos sucesos: que la bola sea de la Urna II **y** que sea amarilla ($U_{II} \cap A$). Según la regla de la multiplicación: $$P(U_{II} \cap A) = P(U_{II}) \cdot P(A|U_{II})$$ Sustituimos los valores: $$P(U_{II} \cap A) = 0,5 \cdot 0,3 = 0,15$$ 💡 **Tip:** No confundas la probabilidad de la intersección $P(U_{II} \cap A)$ (que ocurran ambas cosas) con la probabilidad condicionada $P(A|U_{II})$ (sabiendo que estoy en la Urna II, que sea amarilla). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(U_{II} \cap A) = 0,15}$$