Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro

**a) Clasifica el sistema según sus soluciones para los diferentes valores de $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & a & 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -4 & 0 \\ 3 & a & 2 & 2 \end{array}\right)$$ Para clasificar el sistema según el Teorema de Rouché-Capelli, debemos estudiar el rango de estas matrices en función del parámetro $a$. Empezamos calculando el determinante de $A$. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3.

Calculamos $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & a & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 \cdot 2) + (1 \cdot (-4) \cdot 3) + (1 \cdot 2 \cdot a) - [ (3 \cdot 3 \cdot 1) + (a \cdot (-4) \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 1) ]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = (6 - 12 + 2a) - (9 - 4a + 4)$$ $$|A| = (2a - 6) - (13 - 4a)$$ $$|A| = 2a - 6 - 13 + 4a = 6a - 19$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$6a - 19 = 0 \implies a = \frac{19}{6}$$ $$\boxed{|A| = 6a - 19}$$

**Caso 1: Si $a \neq \frac{19}{6}$** Si $a$ es distinto de $\frac{19}{6}$, entonces el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). - Por tanto, el $\text{rango}(A) = 3$. - Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensiones $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Al contener a $A$, $\text{rango}(A^*) = 3$. - El número de incógnitas es $n = 3$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq \frac{19}{6}, \text{ el sistema es Compatible Determinado.}}$$

**Caso 2: Si $a = \frac{19}{6}$** En este caso, $|A| = 0$, por lo que el $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Para ello, tomamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 19/6 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 \cdot 2) + (1 \cdot 0 \cdot 3) + (2 \cdot 2 \cdot \frac{19}{6}) - [ (3 \cdot 3 \cdot 2) + (\frac{19}{6} \cdot 0 \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 1) ]$$ $$= (6 + 0 + \frac{38}{3}) - (18 + 0 + 4) = 6 + 12.66 - 22 = -3.33 \neq 0$$ Como hay un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Incompatible (SI)**, es decir, **no tiene solución**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = \frac{19}{6}, \text{ el sistema es Incompatible.}}$$

**b) Resuelve el sistema para $a = -1$.** Como $a = -1 \neq \frac{19}{6}$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es Compatible Determinado. El sistema queda: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - 4z = 0 \\ 3x - y + 2z = 2 \end{cases}$$ Calculamos el determinante para este valor de $a$: $|A| = 6(-1) - 19 = -25$. Utilizaremos la **Regla de Cramer**: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}}{-25} = \frac{(12 - 8 + 0) - (6 + 8 + 0)}{-25} = \frac{4 - 14}{-25} = \frac{-10}{-25} = \frac{2}{5}$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix}}{-25} = \frac{(0 - 24 + 4) - (0 - 8 + 8)}{-25} = \frac{-20 - 0}{-25} = \frac{-20}{-25} = \frac{4}{5}$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}}{-25} = \frac{(6 + 0 - 4) - (18 + 0 + 4)}{-25} = \frac{2 - 22}{-25} = \frac{-20}{-25} = \frac{4}{5}$$ 💡 **Tip:** En la Regla de Cramer, para hallar $x$, sustituimos la primera columna de $A$ por la de términos independientes y dividimos por el determinante general. ✅ **Solución final:** $$\boxed{x = \frac{2}{5}, \; y = \frac{4}{5}, \; z = \frac{4}{5}}$$