Estudio de la evolución de la población

Para trabajar con mayor facilidad, primero expandimos la expresión de la función $p(t)$ y establecemos el intervalo de tiempo del estudio. El estudio abarca el periodo 2005-2015. Como $t=0$ representa el año 2005, el dominio de nuestra función es el intervalo **$t \in [0, 10]$**. Expandimos el polinomio: $$(t - 2)^2 = t^2 - 4t + 4$$ Ahora multiplicamos por $(1 - 2t)$: $$(t^2 - 4t + 4)(1 - 2t) = t^2 - 2t^3 - 4t + 8t^2 + 4 - 8t = -2t^3 + 9t^2 - 12t + 4$$ Sumamos el resto de los términos: $$p(t) = -2t^3 + 9t^2 - 12t + 4 + 252t + 116$$ $$p(t) = -2t^3 + 9t^2 + 240t + 120$$ 💡 **Tip:** Simplificar la función antes de derivar suele evitar errores en la aplicación de la regla del producto. $$\boxed{p(t) = -2t^3 + 9t^2 + 240t + 120}$$

Para determinar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $p'(t)$ e igualamos a cero para hallar los puntos críticos. Derivamos término a término: $$p'(t) = -6t^2 + 18t + 240$$ Igualamos a cero: $$-6t^2 + 18t + 240 = 0$$ Simplificamos dividiendo toda la ecuación por $-6$: $$t^2 - 3t - 40 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-40)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{3 \pm 13}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $t_1 = \frac{16}{2} = 8$ - $t_2 = \frac{-10}{2} = -5$ (No válida, ya que está fuera de nuestro dominio $[0, 10]$). 💡 **Tip:** Los puntos críticos son aquellos donde la pendiente de la recta tangente es horizontal. Sólo nos interesan los valores dentro del intervalo de tiempo del estudio. $$\boxed{t = 8}$$

Analizamos el signo de la derivada $p'(t)$ en los intervalos definidos por el punto crítico dentro de nuestro dominio $[0, 10]$. Los intervalos a estudiar son $(0, 8)$ y $(8, 10)$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 8) & 8 & (8, 10) \\\hline p'(t) & + & 0 & - \\\hline p(t) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ Justificación del signo: - Para $t = 1 \in (0, 8) \implies p'(1) = -6(1)^2 + 18(1) + 240 = 252 \gt 0$ (**Creciente**). - Para $t = 9 \in (8, 10) \implies p'(9) = -6(81) + 18(9) + 240 = -486 + 162 + 240 = -84 \lt 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado (Intervalos):** La población **crece** en el periodo **$(0, 8)$**, es decir, del año **2005 al 2013**. La población **decrece** en el periodo **$(8, 10)$**, es decir, del año **2013 al 2015**.

Como la función crece hasta $t=8$ y decrece después, existe un máximo relativo en $t=8$ que coincide con el máximo absoluto del intervalo. El momento del tiempo es $t = 8$, que corresponde al año $2005 + 8 = 2013$. Calculamos el número de habitantes sustituyendo en la función original $p(t)$: $$p(8) = -2(8)^3 + 9(8)^2 + 240(8) + 120$$ $$p(8) = -2(512) + 9(64) + 1920 + 120$$ $$p(8) = -1024 + 576 + 1920 + 120$$ $$p(8) = 1592$$ Como $p(t)$ está expresado en miles de habitantes: $$1592 \times 1000 = 1.592.000 \text{ habitantes}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo en } t=8 \text{ (año 2013) con } 1592 \text{ miles de habitantes}}$$