Distribución normal y distribución de medias muestrales

**a) Calcula la probabilidad de que un fumador tarde más de 4 meses en dejar definitivamente de fumar? (1 punto).** En primer lugar, definimos la variable aleatoria que describe el experimento: $X =$ "tiempo que tarda un fumador en dejar de fumar (en meses)". Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal de media $\mu = 5$ y desviación típica $\sigma = 2$: $$X \sim N(5, 2)$$ Se nos pide calcular la probabilidad de que un fumador tarde más de 4 meses, es decir: $$P(X \gt 4)$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, el primer valor es la media y el segundo la desviación típica. Para calcular probabilidades, siempre debemos transformar nuestra variable a una Normal estándar $Z \sim N(0, 1)$.

Para calcular $P(X \gt 4)$, realizamos el proceso de **tipificación** utilizando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P(X \gt 4) = P\left(Z \gt \frac{4 - 5}{2}\right) = P\left(Z \gt -0,5\right)$$ Por las propiedades de simetría de la campana de Gauss, sabemos que $P(Z \gt -a) = P(Z \lt a)$. Por tanto: $$P(Z \gt -0,5) = P(Z \le 0,5)$$ Buscamos el valor $0,5$ en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \le 0,5) = 0,6915$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 4) = 0,6915}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las tablas suelen ofrecer la probabilidad acumulada a la izquierda, $P(Z \le z)$. Si tienes un valor negativo o un signo mayor que, usa las propiedades de simetría y complementariedad.

**b) Si se toman 50 fumadores, calcula la probabilidad de que el tiempo medio que tardan los 50 fumadores en dejar definitivamente de fumar sea inferior a 6 meses. (2 puntos)** Ahora no estudiamos a un individuo, sino la media de una muestra de tamaño $n = 50$. Cuando la población de origen es normal $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias muestrales $\bar{X}$ también es normal con la misma media $\mu$, pero con una desviación típica (error típico) reducida por la raíz del tamaño de la muestra: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Por tanto: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(5, \frac{2}{\sqrt{50}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{2}{\sqrt{50}} \approx \frac{2}{7,071} \approx 0,2828$$ 💡 **Tip:** Cuanto mayor es el tamaño de la muestra ($n$), menor es la dispersión de las medias muestrales. Esto se conoce como el Teorema del Límite Central (o propiedad de reproductividad de la normal).

Queremos calcular la probabilidad de que la media sea inferior a 6 meses: $$P(\bar{X} \lt 6)$$ Tipificamos usando los parámetros de la distribución de la media muestral: $$P(\bar{X} \lt 6) = P\left(Z \lt \frac{6 - 5}{0,2828}\right)$$ Operamos el valor de $z$: $$P\left(Z \lt \frac{1}{0,2828}\right) = P(Z \lt 3,536)$$ Redondeando a dos decimales para usar la tabla estándar: $P(Z \lt 3,54)$. Al observar la tabla de la normal $N(0, 1)$, vemos que para valores superiores a $3$ la probabilidad es prácticamente $1$. Específicamente, para $3,54$: $$P(Z \lt 3,54) = 0,9998$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \lt 6) = 0,9998}$$ 💡 **Tip:** Es lógico que esta probabilidad sea tan alta, ya que 6 meses está a muchas desviaciones típicas de distancia de la media (5) cuando trabajamos con grupos de 50 personas.