Reparto de la devolución de impuestos

Para resolver este problema, lo primero es asignar una variable a la cantidad de dinero que recibe cada miembro de la familia. Definimos: - $x$: Importe que recibe el hijo (en €). - $y$: Importe que recibe la madre (en €). - $z$: Importe que recibe el padre (en €). 💡 **Tip:** En problemas de reparto, es muy útil identificar de qué cantidad dependen las demás para elegir la variable principal. En este caso, tanto la parte de la madre como la del padre se relacionan directamente con las otras, pero podemos usar un sistema de tres variables para mayor claridad.

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico siguiendo las tres condiciones dadas: 1. **El importe total es de 3250 €:** $$x + y + z = 3250$$ 2. **La madre recibe el doble que el hijo:** $$y = 2x$$ 3. **El padre recibe $\frac{2}{3}$ de lo que recibe la madre:** $$z = \frac{2}{3}y$$ Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 3250 \\ y = 2x \\ z = \frac{2}{3}y \end{cases}$$

Dado que tenemos $y$ en función de $x$, y $z$ en función de $y$, el método de sustitución es el más sencillo. Primero, expresamos $z$ en función de $x$ sustituyendo la segunda ecuación en la tercera: $$z = \frac{2}{3}(2x) = \frac{4}{3}x$$ Ahora sustituimos $y$ y $z$ (expresados en función de $x$) en la primera ecuación: $$x + 2x + \frac{4}{3}x = 3250$$ Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por $3$: $$3x + 6x + 4x = 9750$$ $$13x = 9750$$ $$x = \frac{9750}{13} = 750$$ 💡 **Tip:** Si el resultado no fuera un número entero exacto en este tipo de problemas de dinero (a menos que haya céntimos), revisa las operaciones, ya que suelen estar diseñados para dar valores exactos.

Una vez hallado el valor de $x$ (hijo), calculamos el resto de los importes sustituyendo en las expresiones obtenidas anteriormente: - **Importe de la madre ($y$):** $$y = 2x = 2(750) = 1500 \text{ €}$$ - **Importe del padre ($z$):** $$z = \frac{2}{3}y = \frac{2}{3}(1500) = 1000 \text{ €}$$ **Comprobación:** $$750 + 1500 + 1000 = 3250 \text{ €}$$ La suma es correcta.

Presentamos los resultados finales para cada miembro de la familia de forma clara: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Hijo: } 750 \text{ €} \\ &\text{Madre: } 1500 \text{ €} \\ &\text{Padre: } 1000 \text{ €} \end{aligned}}$$