Producción de petróleo: Continuidad e integración definida

**a) Estudia la continuidad de la función $f(x)$. ¿Cuántos barriles de petróleo produce dicho pozo cuando $x = 8$?** Una función definida a trozos es continua si lo es en cada uno de sus intervalos y en los puntos de salto. Las tres funciones que componen $f(x)$ (polinomios) son continuas en sus dominios respectivos. Debemos comprobar los puntos de salto $x=5$ y $x=10$. Para $x=5$, calculamos los límites laterales y el valor de la función: 1. Límite por la izquierda ($x \to 5^-$): $$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5} (17x) = 17(5) = 85$$ 2. Límite por la derecha ($x \to 5^+$) y valor de la función ($f(5)$): $$\lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5) = -3(5)^2 + 30(5) + 10 = -3(25) + 150 + 10 = -75 + 160 = 85$$ Como los límites laterales coinciden y son iguales al valor de la función, **$f(x)$ es continua en $x=5$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto $a$, debe cumplirse que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Para $x=10$, repetimos el proceso: 1. Límite por la izquierda ($x \to 10^-$): $$\lim_{x \to 10^-} f(x) = \lim_{x \to 10} (-3x^2 + 30x + 10) = -3(10)^2 + 30(10) + 10 = -300 + 300 + 10 = 10$$ 2. Límite por la derecha ($x \to 10^+$) y valor de la función ($f(10)$): $$\lim_{x \to 10^+} f(x) = f(10) = 10$$ Como ambos límites son iguales a 10, **$f(x)$ es continua en $x=10$**. Al ser continua en los puntos de salto y estar formada por funciones continuas, concluimos que la función es continua para todo su dominio ($x \ge 0$). ✅ **Resultado (continuidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo su dominio } [0, +\infty)}$$

Para calcular la producción cuando $x = 8$, debemos identificar en qué intervalo se encuentra dicho valor dentro de la definición de la función: $$f(x) = \begin{cases} 17x & \text{si } 0 \le x < 5 \\ -3x^2 + 30x + 10 & \text{si } 5 \le x < 10 \\ 10 & \text{si } x \ge 10 \end{cases}$$ Como $x=8$ pertenece al intervalo $5 \le x < 10$, sustituimos en la segunda rama: $$f(8) = -3(8)^2 + 30(8) + 10$$ $$f(8) = -3(64) + 240 + 10$$ $$f(8) = -192 + 250 = 58$$ El pozo produce 58 millones de barriles. ✅ **Resultado (producción x=8):** $$\boxed{58 \text{ millones de barriles}}$$

**b) Calcula el área limitada por la función $f(x)$ y el eje OX en el intervalo [2,3].** El intervalo $[2,3]$ está contenido íntegramente en la primera rama de la función ($0 \le x < 5$), por lo que utilizaremos la expresión $f(x) = 17x$. Como esta función es siempre positiva en este intervalo, el área viene dada directamente por la integral definida: $$\text{Área} = \int_{2}^{3} 17x \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int 17x \, dx = \frac{17x^2}{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\text{Área} = \left[ \frac{17x^2}{2} \right]_{2}^{3} = \left( \frac{17 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( \frac{17 \cdot 2^2}{2} \right)$$ $$\text{Área} = \frac{17 \cdot 9}{2} - \frac{17 \cdot 4}{2} = \frac{153}{2} - \frac{68}{2} = \frac{85}{2} = 42.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, siendo $F(x)$ una primitiva de $f(x)$. ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{\text{Área} = 42.5 \text{ unidades de área}}$$