Probabilidad y Estadística 2019 Castilla y Leon
Probabilidad de paquetes defectuosos y retrasos en el transporte
3B- El 15% de los paquetes repartidos por una empresa de transporte llegan defectuosos. Entre los paquetes que llegan defectuosos un 9% llega fuera de plazo, mientras que entre los no defectuosos sólo un 2 % llega fuera de plazo. Se elige un paquete al azar repartido por esta empresa:
a) Calcula la probabilidad de que el paquete elegido llegue fuera de plazo.
b) Sabiendo que el paquete elegido llega fuera de plazo, ¿qué probabilidad hay de que llegue defectuoso?
Paso 1
Definición de sucesos y esquema del problema
Para resolver este problema, lo primero que debemos hacer es definir los sucesos y organizar la información en un árbol de probabilidad.
Definimos los siguientes sucesos:
- $D$: El paquete llega defectuoso.
- $\bar{D}$: El paquete no llega defectuoso (llega en buen estado).
- $F$: El paquete llega fuera de plazo.
- $\bar{F}$: El paquete llega dentro del plazo.
Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades:
- $P(D) = 0,15$ (el 15% son defectuosos).
- $P(\bar{D}) = 1 - 0,15 = 0,85$ (el 85% no son defectuosos).
- $P(F|D) = 0,09$ (probabilidad de estar fuera de plazo sabiendo que es defectuoso).
- $P(F|\bar{D}) = 0,02$ (probabilidad de estar fuera de plazo sabiendo que no es defectuoso).
Representamos esta información en un diagrama de árbol:
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1 (o el 100%).
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de llegar fuera de plazo (Teorema de la Probabilidad Total)
**a) Calcula la probabilidad de que el paquete elegido llegue fuera de plazo.**
Un paquete puede llegar fuera de plazo siguiendo dos caminos: ser defectuoso y llegar fuera de plazo, o no ser defectuoso y llegar fuera de plazo.
Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(F) = P(D) \cdot P(F|D) + P(\bar{D}) \cdot P(F|\bar{D})$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(F) = 0,15 \cdot 0,09 + 0,85 \cdot 0,02$$
$$P(F) = 0,0135 + 0,017$$
$$P(F) = 0,0305$$
💡 **Tip:** Multiplicamos las probabilidades a lo largo de las ramas y sumamos los resultados de los distintos caminos que llevan al suceso deseado.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(F) = 0,0305}$$
(La probabilidad es del **3,05%**).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Sabiendo que el paquete elegido llega fuera de plazo, ¿qué probabilidad hay de que llegue defectuoso?**
En este apartado nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que sea defectuoso ($D$) dado que sabemos que ha llegado fuera de plazo ($F$). Es decir, buscamos $P(D|F)$.
Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(D|F) = \frac{P(D \cap F)}{P(F)} = \frac{P(D) \cdot P(F|D)}{P(F)}$$
Utilizamos los datos obtenidos anteriormente:
- $P(D \cap F) = 0,15 \cdot 0,09 = 0,0135$
- $P(F) = 0,0305$ (calculado en el apartado anterior)
Sustituimos:
$$P(D|F) = \frac{0,0135}{0,0305}$$
$$P(D|F) \approx 0,442622...$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicionalidad: pasamos de conocer $P(F|D)$ a calcular $P(D|F)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D|F) \approx 0,4426}$$
(Hay una probabilidad aproximada del **44,26%** de que un paquete que llega tarde sea defectuoso).