Comparación de intervalos de confianza para la proporción

**¿Cuál es el intervalo de menor confianza? Justifica tu respuesta.** Primero, identificamos los datos que nos ofrece el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Número de días con saturación: $x = 25$. Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$), que es el estimador puntual del parámetro proporción: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{25}{100} = 0.25.$$ Observamos que ambos intervalos de confianza proporcionados están centrados en este valor: - Para $I_1 = [0.122, 0.378]$: $\frac{0.122 + 0.378}{2} = 0.25$. - Para $I_2 = [0.165, 0.335]$: $\frac{0.165 + 0.335}{2} = 0.25$. 💡 **Tip:** El centro de cualquier intervalo de confianza para la proporción siempre debe coincidir con la proporción obtenida en la muestra ($\hat{p}$).

Para responder a la pregunta, debemos recordar cómo se construye un intervalo de confianza para la proporción: $$I = \left[ \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]$$ La amplitud (o longitud) del intervalo viene dada por la fórmula: $$\text{Amplitud} = 2 \cdot z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ Donde: - $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico que depende del **nivel de confianza**. A mayor nivel de confianza ($1-\alpha$), mayor es el valor de $z_{\alpha/2}$ y, por tanto, **mayor es la amplitud** del intervalo. - Por el contrario, a menor nivel de confianza, menor es el valor crítico y el intervalo resulta **más estrecho**. 💡 **Tip:** En inferencia estadística, si mantenemos el mismo tamaño de muestra ($n$), un intervalo más preciso (más pequeño) siempre implica que tenemos menos seguridad (menor confianza) de que el parámetro real esté dentro.

Calculamos la amplitud de los dos intervalos propuestos: 1. Para el primer intervalo $I_1 = [0.122, 0.378]$: $$\text{Amplitud}_1 = 0.378 - 0.122 = 0.256$$ 2. Para el segundo intervalo $I_2 = [0.165, 0.335]$: $$\text{Amplitud}_2 = 0.335 - 0.165 = 0.170$$ Comparamos ambos resultados: $$0.170 \lt 0.256 \implies \text{Amplitud}_2 \lt \text{Amplitud}_1$$ Como el intervalo $I_2 = [0.165, 0.335]$ es el de **menor amplitud**, concluimos que es el que corresponde al menor nivel de confianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El intervalo de menor confianza es } [0.165, 0.335]}$$