Optimización del beneficio: Venta de lámparas

**Determina, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas lámparas de cada modelo debe comprar para maximizar el beneficio conseguido en las ventas. Calcula ese beneficio máximo.** Primero definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de lámparas del modelo A. - $y$: número de lámparas del modelo B. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por unidad de A es de $15 \ €$ y el de B es de $11 \ €$. Por tanto, la función objetivo a maximizar es: $$B(x, y) = 15x + 11y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, lo primero es identificar qué queremos decidir (las variables) y qué queremos conseguir (maximizar o minimizar la función objetivo).

A continuación, traducimos las limitaciones del enunciado en un sistema de inecuaciones: 1. **Restricción de presupuesto:** El coste total no puede superar los $350000 \ €$. $$150x + 100y \le 350000$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo entre $50$: $$3x + 2y \le 7000$$ 2. **Restricción de almacenamiento:** El número total de lámparas no puede ser mayor de $3000$. $$x + y \le 3000$$ 3. **Límite de ventas del modelo A:** Solo puede vender un máximo de $2000$ unidades. $$x \le 2000$$ 4. **No negatividad:** No se pueden comprar cantidades negativas de lámparas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones facilita mucho los cálculos posteriores de los vértices y la representación gráfica.

La región factible es el conjunto de puntos $(x, y)$ que cumplen todas las restricciones simultáneamente. Representamos las rectas asociadas a las inecuaciones: - $r_1: 3x + 2y = 7000$ (Pasa por $(0, 3500)$ y $(\frac{7000}{3}, 0)$) - $r_2: x + y = 3000$ (Pasa por $(0, 3000)$ y $(3000, 0)$) - $r_3: x = 2000$ (Recta vertical) La región factible es el polígono cerrado delimitado por estas rectas en el primer cuadrante.

Los posibles máximos se encuentran en los vértices de la región factible. Los calculamos resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas: - **A** (Origen): $(0, 0)$ - **B**: Intersección de $x=0$ con $x+y=3000 \implies B(0, 3000)$ - **C**: Intersección de $x+y=3000$ y $3x+2y=7000$: Multiplicamos la primera por $-2$: $$\begin{cases} -2x - 2y = -6000 \\ 3x + 2y = 7000 \end{cases}$$ Sumando: $x = 1000$. Sustituyendo en $x+y=3000$, obtenemos $y=2000$. **$C(1000, 2000)$**. - **D**: Intersección de $x=2000$ y $3x+2y=7000$: $3(2000) + 2y = 7000 \implies 6000 + 2y = 7000 \implies 2y = 1000 \implies y=500$. **$D(2000, 500)$**. - **E**: Intersección de $x=2000$ con el eje $OX$ ($y=0$): **$E(2000, 0)$**. 💡 **Tip:** Los vértices siempre son los puntos de corte de las rectas que limitan la región. Es fundamental calcularlos con precisión.

Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 15x + 11y$ en cada vértice: - $B(0, 0) = 15(0) + 11(0) = 0 \ €$ - $B(0, 3000) = 15(0) + 11(3000) = 33000 \ €$ - $B(1000, 2000) = 15(1000) + 11(2000) = 15000 + 22000 = 37000 \ €$ - $B(2000, 500) = 15(2000) + 11(500) = 30000 + 5500 = 35500 \ €$ - $B(2000, 0) = 15(2000) + 11(0) = 30000 \ €$ El valor máximo se alcanza en el punto $C(1000, 2000)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe comprar 1000 lámparas del modelo A y 2000 del modelo B para un beneficio máximo de 37000 €}}$$