Representación de una función cúbica con parámetros

Para poder representar la función $f(x) = -ax^3 - bx + c$, primero debemos encontrar los valores de $a$, $b$ y $c$ utilizando la información proporcionada. 1. **Pasa por el origen de coordenadas $(0,0)$:** Esto significa que $f(0) = 0$. $$-a(0)^3 - b(0) + c = 0 \implies \mathbf{c = 0}$$ 2. **Pasa por el punto $(1, -1)$:** Esto significa que $f(1) = -1$. $$-a(1)^3 - b(1) + 0 = -1 \implies -a - b = -1 \implies \mathbf{a + b = 1}$$ 3. **Tiene un mínimo relativo en $x = 1$:** Si hay un extremo relativo en $x = 1$, la derivada primera en ese punto debe ser cero: $f'(1) = 0$. Calculamos la derivada general: $f'(x) = -3ax^2 - b$. $$f'(1) = -3a(1)^2 - b = 0 \implies -3a - b = 0 \implies \mathbf{b = -3a}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función tiene un extremo (máximo o mínimo) en un punto $x_0$, entonces $f'(x_0)=0$ (condición necesaria).

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($a$ y $b$): $$\begin{cases} a + b = 1 \\ b = -3a \end{cases}$$ Sustituimos la segunda ecuación en la primera: $$a + (-3a) = 1 \implies -2a = 1 \implies \mathbf{a = -\frac{1}{2}}$$ Ahora calculamos $b$: $$b = -3\left(-\frac{1}{2}\right) \implies \mathbf{b = \frac{3}{2}}$$ Por tanto, la función es: $$f(x) = -\left(-\frac{1}{2}\right)x^3 - \left(\frac{3}{2}\right)x + 0 \implies \mathbf{f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x}$$ ✅ **Función obtenida:** $$\boxed{f(x) = \dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{3}{2}x}$$

Para justificar la gráfica, analizamos el comportamiento de $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x$. Calculamos los puntos críticos ($f'(x) = 0$): $$f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(x^2 - 1)$$ $$\frac{3}{2}(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, x = -1$$ Estudiamos el signo de la derivada: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ - En $x = -1$: $f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1) = -0.5 + 1.5 = 1$. Hay un **máximo relativo en $(-1, 1)$**. - En $x = 1$: $f(1) = -1$ (ya dado). Hay un **mínimo relativo en $(1, -1)$**. 💡 **Tip:** Para saber el signo de $f'(x)$ en un intervalo, elige un valor de prueba. Por ejemplo, en $(-1, 1)$, prueba con $x=0$: $f'(0) = -1.5 < 0$ (decreciente).

Puntos de corte con el eje $X$ ($f(x) = 0$): $$\frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x = 0 \implies \frac{1}{2}x(x^2 - 3) = 0$$ Esto nos da tres puntos: $x = 0$, $x = \sqrt{3} \approx 1.73$ y $x = -\sqrt{3} \approx -1.73$. Estudio de la curvatura ($f''(x)$): $$f''(x) = 3x$$ - Si $x < 0$, $f''(x) < 0$ (cóncava hacia abajo). - Si $x > 0$, $f''(x) > 0$ (cóncava hacia arriba). - En $x = 0$ hay un **punto de inflexión** en $(0,0)$.

Con los puntos clave obtenidos: - Máximo relativo: $(-1, 1)$ - Mínimo relativo: $(1, -1)$ - Cortes eje X: $(-\sqrt{3}, 0), (0,0), (\sqrt{3}, 0)$ - Punto de inflexión: $(0,0)$ Podemos trazar la gráfica de la función cúbica.