Probabilidad condicionada: Test del virus del Ébola

**3A- Una multinacional farmacéutica elabora un test para la detección precoz de la enfermedad producida por el virus del Ébola. El test da positivo en el 86% de las personas que son portadoras del virus y da negativo en el 92% de las personas que no son portadoras del virus. Además, en una cierta zona geográfica el 2% de la población es portadora del virus. Se elige al azar una persona de esa zona geográfica y se la somete al test. Calcula razonadamente la probabilidad de que sea portadora del virus sabiendo que el test ha dado positivo.** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $C$: La persona es portadora del virus. - $\bar{C}$: La persona no es portadora del virus. - $+$: El resultado del test es positivo. - $-$: El resultado del test es negativo. Extraemos las probabilidades del enunciado: - Probabilidad de ser portador: $P(C) = 0.02$ - Probabilidad de no ser portador: $P(\bar{C}) = 1 - 0.02 = 0.98$ - Sensibilidad del test (positivo siendo portador): $P(+|C) = 0.86$ - Especificidad del test (negativo no siendo portador): $P(-|\bar{C}) = 0.92$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos complementarios siempre es 1. Por tanto, si el test da negativo en el 92% de los no portadores, dará positivo en el $1 - 0.92 = 0.08$ (8%) de los no portadores (falsos positivos).

Para visualizar mejor la situación, representamos los datos en un diagrama de árbol:

Para hallar la probabilidad de que una persona sea portadora sabiendo que el test es positivo, primero necesitamos la probabilidad total de que el test sea positivo, $P(+)$. Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(+) = P(C) \cdot P(+|C) + P(\bar{C}) \cdot P(+|\bar{C})$$ Sustituyendo los valores del árbol: $$P(+) = (0.02 \cdot 0.86) + (0.98 \cdot 0.08)$$ $$P(+) = 0.0172 + 0.0784 = 0.0956$$ 💡 **Tip:** Esta es la probabilidad de que cualquier persona de la zona, elegida al azar, dé positivo en el test.

Nos piden calcular la probabilidad de que la persona sea portadora dado que el test ha sido positivo: $P(C|+)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|+) = \frac{P(C) \cdot P(+|C)}{P(+)}$$ Sustituimos los resultados obtenidos anteriormente: $$P(C|+) = \frac{0.02 \cdot 0.86}{0.0956} = \frac{0.0172}{0.0956}$$ Realizamos la división: $$P(C|+) \approx 0.1799$$ Esto significa que, aunque el test dé positivo, la probabilidad de ser realmente portador es de aproximadamente el 17.99%, debido a la baja prevalencia de la enfermedad en la población total. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(C|+) \approx 0.1799}$$ 💡 **Tip:** No olvides que el Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "a posteriori", es decir, cuando ya conocemos el resultado de un experimento (el test dio positivo) y queremos conocer la causa (ser portador).