Discusión de un sistema homogéneo con parámetros

**Calcula razonadamente los valores del parámetro $a$ para que el sistema tenga soluciones distintas de la solución trivial (0, 0, 0).** Observamos que el sistema es **homogéneo**, ya que todos los términos independientes (los valores a la derecha del igual) son cero. Un sistema homogéneo siempre es compatible porque admite, como mínimo, la **solución trivial**: $(x, y, z) = (0, 0, 0)$. El enunciado nos pide encontrar los valores de $a$ para que existan soluciones adicionales (es decir, infinitas soluciones). 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo, si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, la única solución es la trivial. Si es igual a cero, hay infinitas soluciones.

Para que un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas tenga soluciones distintas de la trivial, debe ser un **Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.)**. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, esto sucede cuando el rango de la matriz de coeficientes $A$ es menor que el número de incógnitas ($n=3$). En términos prácticos, esto ocurre cuando el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero: $$\text{Soluciones no triviales} \iff |A| = 0$$

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -(1 - a^2) \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & a \end{pmatrix}$$ Simplificamos el término $-(1 - a^2)$ como $a^2 - 1$ y calculamos el determinante mediante la regla de **Sarrus**: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a^2 - 1 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & a \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 4 \cdot a + 1 \cdot 6 \cdot 2 + (a^2 - 1) \cdot 2 \cdot 5] - [(a^2 - 1) \cdot 4 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot a + 1 \cdot 6 \cdot 5]$$ $$|A| = [4a + 12 + 10(a^2 - 1)] - [8(a^2 - 1) + 2a + 30]$$ $$|A| = [4a + 12 + 10a^2 - 10] - [8a^2 - 8 + 2a + 30]$$ $$|A| = (10a^2 + 4a + 2) - (8a^2 + 2a + 22)$$ $$|A| = 2a^2 + 2a - 20$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para Sarrus multiplicamos las diagonales principales y restamos el producto de las diagonales secundarias.

Igualamos el determinante obtenido a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$2a^2 + 2a - 20 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos entre 2: $$a^2 + a - 10 = 0$$ Resolvemos utilizando la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$$ $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 40}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$$ Como $\sqrt{41}$ no es una raíz exacta, dejamos el resultado expresado de forma exacta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, \quad a = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}}$$