Estudio de la capacidad de atención

**a) Calcula la capacidad de atención cuando lleva una hora de clase. (1 punto)** El enunciado nos indica que el tiempo $t$ se mide en minutos y que la clase dura un total de 60 minutos. Por tanto, cuando ha pasado **una hora**, el valor de $t$ es: $$t = 60 \text{ minutos}$$ Para hallar la capacidad de atención en ese instante, simplemente sustituimos $t = 60$ en la función proporcionada $f(t) = -2t^2 + 120t + 5$: $$f(60) = -2(60)^2 + 120(60) + 5$$ $$f(60) = -2(3600) + 7200 + 5$$ $$f(60) = -7200 + 7200 + 5 = 5$$ 💡 **Tip:** Lee siempre con cuidado las unidades. Si la función está en minutos y te piden el valor tras una hora, la conversión es obligatoria. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(60) = 5}$$

**b) Halla el instante de tiempo $t$ (en minutos) en el que la capacidad de atención es máxima. ¿Cuál es la capacidad de atención máxima? (2 puntos)** Para encontrar el valor máximo de una función, debemos estudiar sus puntos críticos. Esto se hace calculando la primera derivada de la función y resolviendo la ecuación $f'(t) = 0$. Calculamos la derivada de $f(t) = -2t^2 + 120t + 5$: $$f'(t) = \frac{d}{dt}(-2t^2 + 120t + 5) = -4t + 120$$ Igualamos a cero para encontrar el candidato a máximo: $$-4t + 120 = 0 \implies 120 = 4t \implies t = \frac{120}{4} = 30$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $ax^n$ es $n \cdot ax^{n-1}$ y la derivada de una constante es $0$.

Para confirmar que en $t = 30$ hay un máximo relativo, estudiamos el signo de la primera derivada en el intervalo del dominio $[0, 60]$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 30) & 30 & (30, 60) \\\hline f'(t) = -4t + 120 & + & 0 & - \\\hline \text{Comportamiento} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 30)$, si probamos por ejemplo $t=10$: $f'(10) = -4(10)+120 = 80 > 0$. - En el intervalo $(30, 60)$, si probamos por ejemplo $t=40$: $f'(40) = -4(40)+120 = -40 < 0$. Como la función pasa de crecer a decrecer en $t = 30$, confirmamos que existe un **máximo relativo** en ese punto. ✅ **Resultado (instante):** $$\boxed{t = 30 \text{ minutos}}$$

Una vez hallado el instante $t = 30$, calculamos el valor de la capacidad de atención máxima sustituyendo dicho valor en la función original $f(t)$: $$f(30) = -2(30)^2 + 120(30) + 5$$ $$f(30) = -2(900) + 3600 + 5$$ $$f(30) = -1800 + 3600 + 5 = 1805$$ La capacidad de atención máxima es de **1805** unidades de atención. ✅ **Resultado (atención máxima):** $$\boxed{f(30) = 1805}$$