Distribución Normal: Probabilidad Individual y de la Media Muestral

**a) Si en el primer examen de este curso la desviación típica poblacional $\sigma$ del tiempo de resolución fue 8 minutos, ¿cuál es la probabilidad de haber necesitado para resolver el examen más de los 90 minutos disponibles?** Definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo de resolución del examen (en minutos). Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(74, 8)$$ Queremos calcular la probabilidad de que un alumno necesite más de 90 minutos, es decir, $P(X \gt 90)$. Para ello, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. La fórmula de tipificación es: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Para $X = 90$: $$Z = \frac{90 - 74}{8} = \frac{16}{8} = 2$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$, que son las que se proporcionan en los exámenes de EBAU.

Ahora calculamos la probabilidad utilizando la variable tipificada $Z$: $$P(X \gt 90) = P(Z \gt 2)$$ Como las tablas de la normal estándar suelen darnos la probabilidad acumulada a la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos el valor $2,00$ en la tabla de la distribución $N(0,1)$: $$P(Z \le 2) = 0,9772$$ Sustituimos: $$P(X \gt 90) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 90) = 0,0228 \text{ (o } 2,28\%\text{)}}$$

**b) En el segundo examen la desviación típica poblacional $\sigma$ del tiempo de resolución fue de 9 minutos. Si se presentaron 36 alumnos a este segundo examen, determina la probabilidad de que el tiempo medio de resolución de esos alumnos fuera inferior a 77 minutos.** En este apartado no nos preguntan por un alumno individual, sino por la **media de una muestra** de $n = 36$ alumnos. Datos: - Media poblacional: $\mu = 74$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 9$ - Tamaño de la muestra: $n = 36$ La distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una normal con la misma media pero con una desviación típica (error estándar) reducida por la raíz del tamaño de la muestra: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica: $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{9}{\sqrt{36}} = \frac{9}{6} = 1,5$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(74, 1,5)$. 💡 **Tip:** Recuerda que a medida que aumenta el tamaño de la muestra $n$, la campana de Gauss se vuelve más estrecha, ya que la media de la muestra tiende a estar más cerca de la media poblacional.

Queremos calcular la probabilidad de que la media sea inferior a 77 minutos: $P(\bar{X} \lt 77)$. Tipificamos la variable $\bar{X}$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{77 - 74}{1,5} = \frac{3}{1,5} = 2$$ Entonces: $$P(\bar{X} \lt 77) = P(Z \lt 2)$$ Buscamos directamente en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ para el valor $2,00$: $$P(Z \lt 2) = 0,9772$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \lt 77) = 0,9772 \text{ (o } 97,72\%\text{)}}$$