Probabilidad de sucesos independientes

**4B- Se consideran dos sucesos independientes $A$ y $B$. Si la probabilidad de que ocurra $A$ es $\frac{1}{2}$ y la probabilidad de que ocurran ambos a la vez es $\frac{1}{3}$, calcula la probabilidad de que no ocurra $A$ y no ocurra $B$.** El enunciado nos indica que los sucesos $A$ y $B$ son **independientes**. Por definición, si dos sucesos son independientes, la probabilidad de que ocurran simultáneamente (la intersección) es igual al producto de sus probabilidades individuales: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Conocemos $P(A) = \frac{1}{2}$ y $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$. Sustituimos estos valores para despejar $P(B)$: $$\frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot P(B)$$ Despejamos $P(B)$ multiplicando por $2$ en ambos lados: $$P(B) = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la independencia es una condición muy fuerte que simplifica mucho los cálculos de intersecciones. Si no fuesen independientes, tendríamos que conocer la probabilidad condicionada. $$\boxed{P(B) = \frac{2}{3}}$$

Se nos pide calcular la probabilidad de que no ocurra $A$ **y** no ocurra $B$, lo cual se expresa simbólicamente como $P(\bar{A} \cap \bar{B})$. Una propiedad fundamental de la probabilidad es que **si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, sus sucesos contrarios (o complementarios) $\bar{A}$ y $\bar{B}$ también son independientes entre sí**. Por tanto, podemos aplicar de nuevo la fórmula del producto para la intersección: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$$ Calculamos primero las probabilidades de los sucesos contrarios: - $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ Ahora, realizamos el producto final: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber resuelto este ejercicio usando las **Leyes de De Morgan**: $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$. Para ello, calcularías primero la unión como $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{6}}$$