Sistema de ecuaciones: Problema de mezcla de judías

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuantos kilogramos de judías de cada tipo se vendieron. (1.5 ptos)** Primero, definimos las incógnitas que representan las cantidades de cada tipo de judía: - $x$: Kilogramos de judías blancas vendidos. - $y$: Kilogramos de judías de canela vendidos. - $z$: Kilogramos de judías pintas vendidos. Ahora, traducimos la información del enunciado en ecuaciones: 1. **Total de kilogramos vendidos ($40$ kg):** $$x + y + z = 40$$ 2. **Valor total de la venta ($111.5$ euros):** Multiplicamos cada cantidad por su precio unitario: $$2.75x + 3y + 2.50z = 111.5$$ 3. **Relación entre tipos de judías:** La suma de blancas ($x$) y canela ($y$) es el triple de las pintas ($z$): $$x + y = 3z \implies x + y - 3z = 0$$ El sistema de ecuaciones lineales resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 40 \\ 2.75x + 3y + 2.50z = 111.5 \\ x + y - 3z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En problemas de mezclas, asegúrate siempre de que las unidades coincidan (kg con kg, euros con euros) antes de escribir las ecuaciones. ✅ **Resultado (Sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 40 \\ 2.75x + 3y + 2.50z = 111.5 \\ x + y - 3z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Podemos resolver el sistema utilizando el método de sustitución, ya que la tercera ecuación nos da una relación directa entre las variables. De la ecuación (3), sabemos que $x + y = 3z$. Sustituimos esta expresión en la ecuación (1): $$(x + y) + z = 40 \implies (3z) + z = 40$$ $$4z = 40 \implies z = \frac{40}{4} = 10$$ Ya conocemos la cantidad de judías pintas: **$z = 10$ kg**. 💡 **Tip:** Siempre que veas un bloque de variables (como $x+y$) repetido en otra ecuación, sustituye el bloque entero para simplificar el proceso rápidamente.

Ahora sustituimos $z = 10$ en las ecuaciones (1) y (2) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): 1. $x + y + 10 = 40 \implies x + y = 30$ 2. $2.75x + 3y + 2.50(10) = 111.5 \implies 2.75x + 3y + 25 = 111.5 \implies 2.75x + 3y = 86.5$ De la primera ecuación despejamos $y$: $$y = 30 - x$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$2.75x + 3(30 - x) = 86.5$$ $$2.75x + 90 - 3x = 86.5$$ $$-0.25x = 86.5 - 90$$ $$-0.25x = -3.5$$ $$x = \frac{-3.5}{-0.25} = 14$$ Ahora hallamos $y$: $$y = 30 - 14 = 16$$ ✅ **Resultado final:** Se vendieron **14 kg** de judías blancas, **16 kg** de judías canela y **10 kg** de judías pintas. $$\boxed{x = 14, \, y = 16, \, z = 10}$$