Programación lineal: Producción de prendas vaqueras

**a) Expresa la funcion objetivo. (0.25 ptos)** Primero, definimos las variables de decisión que representan las cantidades que el taller debe decidir fabricar: - $x$: número de conjuntos de tipo 1 (chaqueta y falda). - $y$: número de conjuntos de tipo 2 (cazadora y pantalón). La función objetivo es la expresión que queremos maximizar, en este caso, el beneficio total obtenido por la venta de los conjuntos. Según el enunciado, el conjunto tipo 1 cuesta $250$ € y el tipo 2 cuesta $350$ €. $$f(x, y) = 250x + 350y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre deben representar cantidades medibles o contables. La función objetivo siempre asocia un valor (dinero, tiempo, coste) a esas variables. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x, y) = 250x + 350y}$$

**b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa graficamente el recinto definido. (1 pto).** Analizamos las limitaciones de recursos (tejidos $T_1$ y $T_2$) y las condiciones lógicas (no se pueden fabricar cantidades negativas): 1. **Restricción del tejido $T_1$:** El conjunto 1 usa $2$ m$^2$ y el conjunto 2 usa $1$ m$^2$. Disponemos de un máximo de $160$ m$^2$. $$2x + y \le 160$$ 2. **Restricción del tejido $T_2$:** El conjunto 1 usa $2$ m$^2$ y el conjunto 2 usa $3$ m$^2$. Disponemos de un máximo de $240$ m$^2$. $$2x + 3y \le 240$$ 3. **Restricciones de no negatividad:** Las cantidades producidas deben ser cero o positivas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de que las unidades sean consistentes. Aquí sumamos metros cuadrados de $T_1$ por un lado y de $T_2$ por otro. ✅ **Sistema de restricciones:** $$\boxed{\begin{cases} 2x + y \le 160 \\ 2x + 3y \le 240 \\ x \ge 0, \ y \ge 0 \end{cases}}$$

Para representar el recinto, dibujamos las rectas asociadas a las inecuaciones y determinamos la región factible. - **Recta $r_1$ ($2x + y = 160$):** Si $x=0 \implies y=160$. Punto $(0, 160)$. Si $y=0 \implies x=80$. Punto $(80, 0)$. - **Recta $r_2$ ($2x + 3y = 240$):** Si $x=0 \implies y=80$. Punto $(0, 80)$. Si $y=0 \implies x=120$. Punto $(120, 0)$. El recinto es el polígono delimitado por los ejes y estas rectas en el primer cuadrante. El punto de intersección entre las dos rectas se halla resolviendo el sistema: $$\begin{cases} 2x + y = 160 \\ 2x + 3y = 240 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $(3y - y) = 240 - 160 \implies 2y = 80 \implies y = 40$. Sustituyendo en la primera: $2x + 40 = 160 \implies 2x = 120 \implies x = 60$. Punto de corte: **$C(60, 40)$**.

**c) Calcula el numero de conjuntos de cada tipo que deben hacer para obtener maximas ganancias. (0.25 ptos)** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 250x + 350y$ en los vértices del recinto factible: - **Vértice $A(0, 0)$:** $f(0, 0) = 250(0) + 350(0) = 0$ € - **Vértice $B(80, 0)$:** $f(80, 0) = 250(80) + 350(0) = 20000$ € - **Vértice $C(60, 40)$:** $f(60, 40) = 250(60) + 350(40) = 15000 + 14000 = 29000$ € - **Vértice $D(0, 80)$:** $f(0, 80) = 250(0) + 350(80) = 28000$ € El valor máximo se alcanza en el punto $C(60, 40)$. 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal con recintos acotados, el máximo o mínimo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento que une dos vértices). ✅ **Resultado final:** Deberán fabricar **60 conjuntos de chaqueta y falda** y **40 conjuntos de cazadora y pantalón** para obtener una ganancia máxima de **29.000 euros**. $$\boxed{x=60, \ y=40}$$