Continuidad de una función a trozos y representación gráfica

**a) Halla el valor de $t$ para que $f$ sea continua en $x = -3$. (0.5 ptos)** Para que la función sea continua en $x = -3$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la función en el punto: $f(-3)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales (que exista el límite global). 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función en el punto. En la práctica, esto se resume en comprobar que no hay un **salto entre ramas** igualando los límites laterales: $$\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la continuidad en los puntos de cambio de rama, debemos analizar el comportamiento de la función justo a la izquierda y justo a la derecha de dicho punto.

Calculamos los límites laterales en $x = -3$ usando las ramas correspondientes: - **Límite por la izquierda ($x \le -3$):** $$\lim_{x \to -3^-} (x + t) = -3 + t$$ - **Límite por la derecha ($-3 \lt x \lt 3$):** $$\lim_{x \to -3^+} 4 = 4$$ Para que sea continua, igualamos ambos resultados: $$-3 + t = 4$$ $$t = 4 + 3$$ $$\mathbf{t = 7}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 7}$$

**b) Para $t = 3$, representa graficamente la funcion $f$. (1 pto)** Sustituimos $t = 3$ en la función original: $$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x \le -3 \\ 4 & \text{si } -3 < x < 3 \\ (x - 4)^2 - 5 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$ Analizamos cada tramo: 1. **Rama 1 ($x \le -3$):** Es una recta $y = x + 3$. Pasa por $(-3, 0)$ y $(-4, -1)$. 2. **Rama 2 ($-3 \lt x \lt 3$):** Es una función constante $y = 4$. Es una línea horizontal. 3. **Rama 3 ($x \ge 3$):** Es una parábola $y = (x - 4)^2 - 5$. Tiene su vértice en $(4, -5)$ y abre hacia arriba. 💡 **Tip:** Para representar parábolas, busca siempre el vértice $V(h, k)$ de la forma $(x-h)^2 + k$. Aquí $h=4$ y $k=-5$.

Para dibujar correctamente, comprobamos si hay saltos en los puntos de unión: - **En $x = -3$:** La rama 1 termina en $y = 0$. La rama 2 empieza en $y = 4$. Hay un **salto finito** de 4 unidades. - **En $x = 3$:** La rama 2 termina en $y = 4$. La rama 3 empieza en $y = (3-4)^2 - 5 = 1 - 5 = -4$. Hay un **salto finito** de 8 unidades. Tabla de puntos clave: $$\begin{array}{c|c|c} x & f(x) & \text{Tipo de punto} \\\hline -4 & -1 & \text{Recta} \\ -3 & 0 & \text{Punto cerrado (rama 1)} \\ -3 & 4 & \text{Punto abierto (rama 2)} \\ 0 & 4 & \text{Corte eje Y (rama 2)} \\ 3 & 4 & \text{Punto abierto (rama 2)} \\ 3 & -4 & \text{Punto cerrado (rama 3)} \\ 4 & -5 & \text{Vértice parábola} \\ 5 & -4 & \text{Punto parábola} \end{array}$$ ✅ **Representación gráfica:**