Cálculo de parámetros de una función cuadrática

Para hallar los tres parámetros $a, b$ y $c$, necesitamos plantear tres ecuaciones basadas en la información proporcionada: 1. **Corte con el eje de ordenadas en $4$:** Esto significa que la gráfica pasa por el punto $(0, 4)$. Por lo tanto, $f(0) = 4$. 2. **Pasa por el punto $(1, 1)$:** El enunciado indica que el mínimo está en $(1, 1)$, lo cual implica que $f(1) = 1$. 3. **Mínimo en $x = 1$:** Para que exista un extremo relativo (mínimo) en un punto, la derivada de la función en ese valor de $x$ debe ser igual a cero. Por tanto, $f'(1) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica de la función, se cumple que $f(x_0) = y_0$. Si además es un máximo o mínimo, entonces $f'(x_0) = 0$.

Utilizamos la primera condición: la función corta al eje de ordenadas (eje $Y$) en $4$. Sustituimos $x = 0$ en la función $f(x) = ax^2 + bx + c$: $$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 4$$ $$0 + 0 + c = 4$$ De aquí obtenemos directamente el valor de la ordenada en el origen: $$\boxed{c = 4}$$

Utilizamos la segunda condición: la gráfica pasa por el punto $(1, 1)$. Sustituimos $x = 1$ e $y = 1$ en la función, usando ya el valor $c = 4$: $$f(1) = a(1)^2 + b(1) + 4 = 1$$ $$a + b + 4 = 1$$ $$a + b = 1 - 4$$ $$\boxed{a + b = -3} \quad \text{(Ecuación 1)}$$

Calculamos primero la derivada genérica de $f(x) = ax^2 + bx + c$: $$f'(x) = 2ax + b$$ Como sabemos que hay un mínimo en $x = 1$, la derivada debe anularse en ese punto: $$f'(1) = 2a(1) + b = 0$$ $$\boxed{2a + b = 0} \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** La derivada de $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$. Aquí derivamos término a término: $(ax^2)' = 2ax$, $(bx)' = b$ y $c' = 0$.

Ahora resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores: $$\begin{cases} a + b = -3 \\ 2a + b = 0 \end{cases}$$ Podemos usar el método de resta (reducción). Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(2a + b) - (a + b) = 0 - (-3)$$ $$2a - a + b - b = 3$$ $$\boxed{a = 3}$$ Ahora sustituimos $a = 3$ en la primera ecuación para hallar $b$: $$3 + b = -3$$ $$b = -3 - 3$$ $$\boxed{b = -6}$$ 💡 **Tip:** También podías haber despejado $b = -2a$ de la segunda ecuación y sustituir en la primera: $a + (-2a) = -3 \implies -a = -3 \implies a = 3$.

Hemos obtenido los valores $a = 3$, $b = -6$ y $c = 4$. La función es: $$f(x) = 3x^2 - 6x + 4$$ **Comprobación del mínimo:** Para asegurar que es un mínimo, calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = 6$$ Como $f''(1) = 6 \gt 0$, efectivamente se trata de un mínimo relativo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3, \quad b = -6, \quad c = 4}$$ A continuación se muestra la gráfica de la función obtenida: