Operaciones con matrices, matriz inversa y compatibilidad de productos

**a) Calcula $A \cdot B - C^T$. (0.75 ptos)** En primer lugar, calculamos el producto $A \cdot B$. Debemos observar que $A$ es una matriz de dimensiones $3 \times 1$ (3 filas y 1 columna) y $B$ es una matriz $1 \times 3$ (1 fila y 3 columnas). El producto es posible porque el número de columnas de $A$ (1) coincide con el número de filas de $B$ (1). El resultado será una matriz de dimensiones $3 \times 3$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 3\cdot 5 \\ 2\cdot 2 & 2\cdot 1 & 2\cdot 5 \\ 4\cdot 2 & 4\cdot 1 & 4\cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 15 \\ 4 & 2 & 10 \\ 8 & 4 & 20 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices, recuerda la regla de "fila por columna". En este caso particular de una matriz columna por una fila, cada elemento $(i, j)$ es simplemente el producto del elemento $i$ de $A$ por el elemento $j$ de $B$.

Ahora hallamos la matriz traspuesta de $C$, denotada como $C^T$, que se obtiene intercambiando filas por columnas: $$C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \implies C^T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, realizamos la resta $A \cdot B - C^T$ elemento a elemento: $$A \cdot B - C^T = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 15 \\ 4 & 2 & 10 \\ 8 & 4 & 20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B - C^T = \begin{pmatrix} 6 - (-1) & 3 - 0 & 15 - 0 \\ 4 - 0 & 2 - (-1) & 10 - 2 \\ 8 - 2 & 4 - (-2) & 20 - 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{A \cdot B - C^T = \begin{pmatrix} 7 & 3 & 15 \\ 4 & 3 & 8 \\ 6 & 6 & 16 \end{pmatrix}}$$

**b) Comprueba que la matriz $C$ no tiene inversa y explica la razon por la que el producto $D^2 \cdot B$ no puede ser realizado. (0.75 ptos)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $C$ aplicando la regla de Sarrus: $$|C| = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}$$ $$|C| = [(-1) \cdot (-1) \cdot 4 + 0 \cdot (-2) \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cdot 2] - [2 \cdot (-1) \cdot 0 + (-2) \cdot 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 \cdot 0]$$ $$|C| = [4 + 0 + 0] - [0 + 4 + 0] = 4 - 4 = 0$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz es cero ($|C| = 0$), la matriz se denomina **singular** y no posee matriz inversa $C^{-1}$. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Como } |C| = 0, \text{ la matriz } C \text{ no tiene inversa.}}$$

Para analizar el producto $D^2 \cdot B$, primero observamos las dimensiones de las matrices involucradas: 1. La matriz $D$ es de dimensión $2 \times 2$. Por lo tanto, su cuadrado $D^2 = D \cdot D$ también será una matriz de dimensión **$2 \times 2$**. 2. La matriz $B$ es de dimensión **$1 \times 3$**. Para que el producto de dos matrices $M \cdot N$ sea posible, el número de **columnas** de la primera matriz ($M$) debe coincidir con el número de **filas** de la segunda matriz ($N$). En este caso: - Número de columnas de $D^2$: **2** - Número de filas de $B$: **1** Como $2 \neq 1$, el producto no se puede realizar. 💡 **Tip:** Recuerda siempre verificar la condición de dimensiones antes de operar: $(m \times n) \cdot (p \times q)$ requiere que $n = p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El producto } D^2 \cdot B \text{ no es posible porque el número de columnas de } D^2 \text{ (2) es distinto al número de filas de } B \text{ (1).}}$$