Sistema de ecuaciones: Precios de un gimnasio

**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuál es el precio de cada franja horaria. (1.5 ptos)** En primer lugar, definimos las variables que representan lo que queremos calcular: - $x$: Precio de la franja horaria de la **mañana** (en euros). - $y$: Precio de la franja horaria del **mediodía** (en euros). - $z$: Precio de la franja horaria de la **tarde** (en euros). Traducimos la información del enunciado a ecuaciones: 1. **Ingresos totales:** Si han ido $150$ personas por la mañana, $30$ al mediodía y $270$ por la tarde con un total de $15900$ euros: $$150x + 30y + 270z = 15900$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con números más pequeños, podemos simplificar esta ecuación dividiendo todos sus términos por $30$: $$5x + y + 9z = 530$$

Continuamos traduciendo las condiciones de los precios: 2. **Diferencia entre tarde y mañana:** "La diferencia entre el precio de la tarde ($z$) y la mañana ($x$) equivale a la mitad del precio para el mediodía ($y/2$)": $$z - x = \frac{y}{2}$$ Multiplicamos por $2$ para eliminar el denominador: $$2z - 2x = y \implies -2x - y + 2z = 0$$ 3. **Suma de mediodía y tarde:** "Al sumar los precios del mediodía ($y$) y la tarde ($z$) obtenemos el doble del precio de la mañana ($2x$)": $$y + z = 2x \implies -2x + y + z = 0$$ ✅ **Resultado (Sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} 150x + 30y + 270z = 15900 \\ -2x - y + 2z = 0 \\ -2x + y + z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)** Utilizaremos el sistema simplificado para facilitar los cálculos: $$\begin{cases} (1) \quad 5x + y + 9z = 530 \\ (2) \quad -2x - y + 2z = 0 \\ (3) \quad -2x + y + z = 0 \end{cases}$$ Sumamos las ecuaciones $(2)$ y $(3)$ para eliminar la variable $y$: $$(-2x - y + 2z) + (-2x + y + z) = 0 + 0$$ $$-4x + 3z = 0 \implies 3z = 4x \implies z = \frac{4}{3}x$$ Ahora restamos la ecuación $(2)$ a la $(3)$ para obtener otra relación: $$(-2x + y + z) - (-2x - y + 2z) = 0 - 0$$ $$2y - z = 0 \implies z = 2y \implies y = \frac{z}{2}$$ Como sabemos que $z = \frac{4}{3}x$, sustituimos en la expresión de $y$: $$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}x$$ 💡 **Tip:** Expresar todas las variables en función de una sola (en este caso $x$) es una estrategia muy eficaz en sistemas de tres ecuaciones.

Sustituimos $y = \frac{2}{3}x$ y $z = \frac{4}{3}x$ en la primera ecuación simplificada $(5x + y + 9z = 530)$: $$5x + \frac{2}{3}x + 9\left(\frac{4}{3}x\right) = 530$$ $$5x + \frac{2}{3}x + 12x = 530$$ $$17x + \frac{2}{3}x = 530$$ Multiplicamos toda la ecuación por $3$ para eliminar denominadores: $$51x + 2x = 1590$$ $$53x = 1590$$ $$x = \frac{1590}{53} = 30$$ Ahora calculamos $y$ y $z$: $$y = \frac{2}{3}(30) = 20$$ $$z = \frac{4}{3}(30) = 40$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 30€, \quad y = 20€, \quad z = 40€}$$ Los precios son: **30 € por la mañana, 20 € al mediodía y 40 € por la tarde**.