Continuidad, extremos y monotonía de una función a trozos

**a) ¿Para que valor de $c$ la funcion $f(x)$ es continua en $x = c$? (0.5 ptos)** Para que la función $f(x)$ sea continua en el punto de salto $x = c$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista la función en el punto: $f(c)$ esté definido. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales: $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$. Calculamos los límites laterales en $x = c$: - Por la izquierda ($x \lt c$): $\lim_{x \to c^-} (-x - 4) = -c - 4$. - Por la derecha ($c \le x \le 0$): $\lim_{x \to c^+} (-3) = -3$. - Valor de la función: $f(c) = -3$. Igualamos los límites para que haya continuidad: $$-c - 4 = -3$$ $$-c = -3 + 4$$ $$-c = 1 \implies c = -1$$ 💡 **Tip:** En las funciones a trozos, la continuidad en los puntos de separación se garantiza igualando los límites laterales de las ramas que confluyen en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = -1}$$

**b) Calcula los extremos relativos de la funcion $f(x)$ en el intervalo $(0, +\infty)$. (0.5 ptos)** En el intervalo $(0, +\infty)$, la función viene definida por la rama: $$f(x) = x^2 - 10x$$ Para hallar los extremos relativos (máximos y mínimos), primero calculamos la derivada y buscamos sus puntos críticos (donde $f'(x) = 0$): $$f'(x) = 2x - 10$$ Igualamos a cero: $$2x - 10 = 0 \implies 2x = 10 \implies x = 5$$ Como $x = 5$ pertenece al intervalo $(0, +\infty)$, es un posible extremo relativo. 💡 **Tip:** Los extremos relativos de una función derivable siempre se encuentran entre sus puntos críticos, es decir, los valores de $x$ que anulan la primera derivada.

**c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcion $f(x)$ en $(0, +\infty)$. (0.5 ptos)** Para determinar el crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de $f'(x) = 2x - 10$ en el intervalo solicitado $(0, +\infty)$, usando el punto crítico $x = 5$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 5) & 5 & (5, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ **Justificación del signo:** - En $(0, 5)$, si tomamos $x = 1$: $f'(1) = 2(1) - 10 = -8 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(5, +\infty)$, si tomamos $x = 6$: $f'(6) = 2(6) - 10 = 2 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en } (0, 5) \text{ y Creciente en } (5, +\infty)}$$

A partir del estudio de la monotonía realizado en el paso anterior, observamos que en $x = 5$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que existe un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en $f(x)$: $$y = f(5) = 5^2 - 10(5) = 25 - 50 = -25$$ El punto extremo es $(5, -25)$. 💡 **Tip:** También podíamos usar la segunda derivada: $f''(x) = 2$. Como $f''(5) = 2 \gt 0$, confirmamos que se trata de un mínimo relativo. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (5, -25)}$$