Optimización de costes de fabricación

**a) Determina la cantidad de vehiculos que dan el coste maximo y minimo. (1 pto)** Para hallar los máximos y mínimos de la función de coste $C(x)$ en el intervalo cerrado $[1, 27]$, primero calculamos su derivada para encontrar los puntos críticos donde la pendiente es cero. La función es: $C(x) = -x^3 + 45x^2 - 243x + 500$. Derivamos término a término: $$C'(x) = -3x^2 + 45(2x) - 243 = -3x^2 + 90x - 243$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-3x^2 + 90x - 243 = 0$$ Dividimos toda la ecuación por $-3$ para simplificar: $$x^2 - 30x + 81 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 324}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{576}}{2}$$ $$x = \frac{30 \pm 24}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = \frac{54}{2} = 27$$ $$x_2 = \frac{6}{2} = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función en un intervalo cerrado, debemos comprobar tanto los puntos críticos como los extremos del intervalo ($x=1$ y $x=27$).

Analizamos el signo de la primera derivada $C'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[1, 27]$. La derivada factorizada es $C'(x) = -3(x-3)(x-27)$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (1,3) & 3 & (3,27) \\\hline C'(x) & - & 0 & + \\\hline C(x) & \searrow & \text{mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(1, 3)$, tomamos $x=2$: $C'(2) = -3(2-3)(2-27) = -3(-1)(-25) = -75 \lt 0$. La función **decrece**. - En el intervalo $(3, 27)$, tomamos $x=10$: $C'(10) = -3(10-3)(10-27) = -3(7)(-17) = 357 \gt 0$. La función **crece**. Al decrecer y luego crecer, en **$x=3$ hay un mínimo relativo**. En el extremo **$x=27$**, dado que la función crece hasta ese punto, tendremos un candidato a **máximo absoluto**.

Para confirmar cuáles son los valores máximos y mínimos absolutos, evaluamos la función original $C(x)$ en los extremos del intervalo ($x=1$ y $x=27$) y en el punto crítico interior ($x=3$): 1. Para $x = 1$: $C(1) = -(1)^3 + 45(1)^2 - 243(1) + 500 = -1 + 45 - 243 + 500 = 301$ 2. Para $x = 3$: $C(3) = -(3)^3 + 45(3)^2 - 243(3) + 500 = -27 + 405 - 729 + 500 = 149$ 3. Para $x = 27$: $C(27) = -(27)^3 + 45(27)^2 - 243(27) + 500 = -19683 + 32805 - 6561 + 500 = 7061$ Comparando los valores: - El valor más bajo es $149$ en $x=3$. - El valor más alto es $7061$ en $x=27$. Convertimos a las unidades del enunciado (x en cientos de vehículos): - Coste mínimo: $3 \times 100 = \mathbf{300 \text{ vehículos}}$. - Coste máximo: $27 \times 100 = \mathbf{2700 \text{ vehículos}}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo: 300 vehículos; Máximo: 2700 vehículos}}$$

**b) ¿A que valor ascienden ambos? (0.5 ptos)** Utilizamos los resultados obtenidos en el paso anterior, recordando que el coste $C(x)$ está expresado en **miles de euros**. 1. **Coste Mínimo ($x=3$):** $$C(3) = 149 \text{ mil euros}$$ Es decir: $149 \times 1000 = \mathbf{149.000 \text{ €}}$. 2. **Coste Máximo ($x=27$):** $$C(27) = 7061 \text{ mil euros}$$ Es decir: $7.061 \times 1000 = \mathbf{7.061.000 \text{ €}}$. 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de leer las unidades del enunciado. En este caso, $x$ son cientos y $C(x)$ son miles. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Coste mínimo: 149.000 €; Coste máximo: 7.061.000 €}}$$