Probabilidad y Estadística 2019 Castilla la Mancha
Probabilidad total y Teorema de Bayes: Alumnos deportistas
5. El $5\%$ de los estudiantes matriculados en una determinada asignatura de bachillerato son deportistas aficionados. El $0.5\%$ de estos alumnos deportistas aficionados obtienen una calificacion de suspenso en dicha asignatura. Mientras que el $15\%$ de los alumnos no deportistas aficionados obtienen una calificacion de suspenso.
a) Elegido un alumno al azar, ¿cual es la probabilidad de que haya obtenido un suspenso en la citada asignatura? (0.75 ptos)
b) Sabiendo que un alumno elegido al azar ha obtenido un suspenso, ¿cual es la probabilidad de que sea deportista aficionado? (0.75 ptos)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) Elegido un alumno al azar, ¿cual es la probabilidad de que haya obtenido un suspenso en la citada asignatura? (0.75 ptos)**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información:
- $D$: El alumno es deportista aficionado.
- $\bar{D}$: El alumno no es deportista aficionado.
- $S$: El alumno obtiene una calificación de suspenso.
- $\bar{S}$: El alumno no obtiene una calificación de suspenso (aprueba).
Extraemos los datos del enunciado en términos de probabilidad:
- $P(D) = 0.05$ (el $5\%$ son deportistas).
- $P(\bar{D}) = 1 - 0.05 = 0.95$ (el $95\%$ no son deportistas).
- $P(S|D) = 0.005$ (el $0.5\%$ de los deportistas suspende).
- $P(S|\bar{D}) = 0.15$ (el $15\%$ de los no deportistas suspende).
Representamos esta situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de suspenso
Para calcular la probabilidad de que un alumno suspenda, $P(S)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Esto consiste en sumar las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en el suceso "Suspenso" ($S$):
$$P(S) = P(D) \cdot P(S|D) + P(\bar{D}) \cdot P(S|\bar{D})$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(S) = (0.05 \cdot 0.005) + (0.95 \cdot 0.15)$$
$$P(S) = 0.00025 + 0.1425$$
$$P(S) = 0.14275$$
💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad total se halla sumando las intersecciones de $S$ con cada una de las particiones del espacio muestral ($D$ y $\bar{D}$).
✅ **Resultado (Apartado a):**
$$\boxed{P(S) = 0.14275}$$
(Es decir, un $14.275\%$ de probabilidad de que el alumno haya suspendido).
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
Para el apartado b), nos piden la probabilidad de que el alumno sea deportista sabiendo que ha suspendido. Esto es una probabilidad a posteriori, por lo que usamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(D|S) = \frac{P(D \cap S)}{P(S)} = \frac{P(D) \cdot P(S|D)}{P(S)}$$
Ya tenemos los datos del paso anterior:
- $P(D \cap S) = 0.05 \cdot 0.005 = 0.00025$
- $P(S) = 0.14275$
Sustituimos en la fórmula:
$$P(D|S) = \frac{0.00025}{0.14275}$$
Realizamos la división:
$$P(D|S) = \frac{25}{14275} = \frac{1}{571} \approx 0.0017513$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' dado un 'efecto' ya ocurrido. Es la probabilidad de la 'rama favorable' entre la 'probabilidad total'.
✅ **Resultado (Apartado b):**
$$\boxed{P(D|S) \approx 0.00175}$$