Álgebra 2019 Castilla la Mancha
Problema de pesos de sacos de harina
1. Un cliente hace un pedido a una fabrica de harinas que ofrece $3$ tamaños distintos de sacos: pequeño, mediano y grande. Ha pedido $20$ sacos pequeños, $14$ medianos y $6$ grandes y el peso total de su pedido es $1800$ kilogramos. Si el peso de dos sacos pequeños y tres medianos es el mismo que el de dos sacos grandes y el peso de un saco grande es cuatro veces el peso de un saco pequeño.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el peso de cada tipo de saco (1.5 ptos)
b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el peso de cada tipo de saco (1.5 ptos)**
En primer lugar, definimos las incógnitas que representan los valores desconocidos del problema:
- $x$: peso de un saco pequeño (en kg).
- $y$: peso de un saco mediano (en kg).
- $z$: peso de un saco grande (en kg).
A continuación, traducimos las condiciones del enunciado al lenguaje algebraico:
1. El pedido total (20 pequeños, 14 medianos y 6 grandes) pesa 1800 kg:
$$20x + 14y + 6z = 1800$$
2. Dos sacos pequeños y tres medianos pesan lo mismo que dos grandes:
$$2x + 3y = 2z \implies 2x + 3y - 2z = 0$$
3. Un saco grande pesa cuatro veces uno pequeño:
$$z = 4x \implies 4x - z = 0$$
💡 **Tip:** Definir claramente las variables con sus unidades es el paso más importante para no cometer errores en el planteamiento.
El sistema de ecuaciones planteado es:
$$\boxed{\begin{cases} 20x + 14y + 6z = 1800 \\ 2x + 3y - 2z = 0 \\ 4x - z = 0 \end{cases}}$$
Paso 2
Resolución del sistema mediante sustitución
**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)**
Dado que la tercera ecuación nos da una relación directa entre $z$ y $x$ ($z = 4x$), utilizaremos el **método de sustitución**.
1. Sustituimos $z = 4x$ en las otras dos ecuaciones:
En la primera:
$$20x + 14y + 6(4x) = 1800 \implies 20x + 14y + 24x = 1800 \implies 44x + 14y = 1800$$
Si simplificamos dividiendo entre 2: $22x + 7y = 900$.
En la segunda:
$$2x + 3y - 2(4x) = 0 \implies 2x + 3y - 8x = 0 \implies -6x + 3y = 0 \implies 3y = 6x \implies y = 2x.$$
2. Ahora sustituimos $y = 2x$ en la ecuación $22x + 7y = 900$:
$$22x + 7(2x) = 900$$
$$22x + 14x = 900$$
$$36x = 900 \implies x = \frac{900}{36} = 25.$$
3. Obtenemos el valor de las otras dos variables:
- $y = 2(25) = 50$.
- $z = 4(25) = 100$.
💡 **Tip:** Cuando una de las ecuaciones es tan sencilla como $z=4x$, la sustitución suele ser el camino más rápido y con menos riesgo de error aritmético que Gauss.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{x = 25 \text{ kg, } y = 50 \text{ kg, } z = 100 \text{ kg}}$$