Optimización con programación lineal

**a) Dibuja la region factible. (1 pto)** Para representar la región factible, primero identificamos las rectas que limitan cada restricción transformando las desigualdades en igualdades: 1. $r_1: x + y = 2$ (o $y = -x + 2$) 2. $r_2: x = y$ (o $y = x$) 3. $r_3: y = 2$ (recta horizontal) 4. $r_4: y = 0$ (recta horizontal, eje $X$) 5. $r_5: x = 0$ (recta vertical, eje $Y$) 💡 **Tip:** Para dibujar una recta, basta con obtener dos puntos. Por ejemplo, en $x + y = 2$, si $x=0 \implies y=2$ (punto $(0,2)$) y si $y=0 \implies x=2$ (punto $(2,0)$).

Dibujamos las rectas y determinamos el semiplano que satisface cada inecuación sustituyendo un punto de prueba (como el $(0,0)$ si no pasa por la recta): - $x+y \ge 2$: El punto $(0,0)$ no cumple $0+0 \ge 2$, por lo que es el semiplano superior/derecho. - $x \le y$: El punto $(1,0)$ no cumple $1 \le 0$, por lo que es el semiplano superior/izquierdo. - $0 \le y \le 2$: Es la franja horizontal entre el eje $X$ y la altura $2$. - $x \ge 0$: Es el primer y cuarto cuadrante (derecha del eje $Y$). La intersección de todos estos semiplanos nos da un recinto cerrado (triangular). **Región Factible:**

**b) Determina los vertices de la region factible. (0.25 ptos)** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan en los extremos de la región: 1. **Vértice A:** Intersección de $r_1$ ($x+y=2$) y $r_2$ ($x=y$). Sustituyendo $x=y$ en la primera: $x + x = 2 \implies 2x = 2 \implies x = 1, y = 1$. $$\mathbf{A(1, 1)}$$ 2. **Vértice B:** Intersección de $r_1$ ($x+y=2$) y $r_5$ ($x=0$). Sustituyendo $x=0$: $0 + y = 2 \implies y = 2$. $$\mathbf{B(0, 2)}$$ 3. **Vértice C:** Intersección de $r_2$ ($x=y$) y $r_3$ ($y=2$). Sustituyendo $y=2$: $x = 2$. $$\mathbf{C(2, 2)}$$ ✅ **Vértices de la región:** $$\boxed{A(1, 1), \quad B(0, 2), \quad C(2, 2)}$$

**c) Indica el maximo y el minimo y sus respectivos valores. (0.25 ptos)** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 3x + 4y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar los valores óptimos: - En $A(1, 1): f(1, 1) = 3(1) + 4(1) = 3 + 4 = 7$ - En $B(0, 2): f(0, 2) = 3(0) + 4(2) = 0 + 8 = 8$ - En $C(2, 2): f(2, 2) = 3(2) + 4(2) = 6 + 8 = 14$ Comparando los resultados: - El valor más pequeño es **7**, que se alcanza en el punto $(1, 1)$. - El valor más grande es **14**, que se alcanza en el punto $(2, 2)$. 💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, si la solución existe y la región es acotada, el máximo y el mínimo se encuentran siempre en los vértices del recinto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Mínimo: } 7 \text{ en } (1, 1); \quad \text{Máximo: } 14 \text{ en } (2, 2)}$$