Continuidad y representación de una función a trozos

**a) ¿Para que valor de $c$ la funcion $f(x)$ es continua en $x = c$? (0.5 ptos)** Para que una función sea continua en un punto $x = c$, deben coincidir el valor de la función en ese punto y sus límites laterales. Es decir: $$f(c) = \lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x)$$ Calculamos cada parte utilizando las ramas de la función: 1. **Valor de la función y límite por la izquierda ($x \le c$):** $$\lim_{x \to c^-} f(x) = f(c) = 4c - \frac{3}{2}$$ 2. **Límite por la derecha ($x > c$):** $$\lim_{x \to c^+} f(x) = (c - 2)^2 + \frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones definidas a trozos, el valor crítico suele ser el punto donde se produce el salto entre intervalos. Si los límites laterales coinciden, no hay salto y la función es continua.

Igualamos ambos límites para asegurar que no haya un salto en $x = c$: $$4c - \frac{3}{2} = (c - 2)^2 + \frac{3}{2}$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado $(c - 2)^2 = c^2 - 4c + 4$: $$4c - 1.5 = c^2 - 4c + 4 + 1.5$$ $$4c - 1.5 = c^2 - 4c + 5.5$$ Llevamos todos los términos a un lado para obtener una ecuación de segundo grado: $$0 = c^2 - 8c + 5.5 + 1.5$$ $$c^2 - 8c + 7 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general o factorizando: $$c = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$c = \frac{8 \pm 6}{2}$$ Obtenemos dos posibles valores: - $c_1 = \frac{14}{2} = 7$ - $c_2 = \frac{2}{2} = 1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = 1 \text{ y } c = 7}$$

**b) Para $c = 1$, representa graficamente la funcion $f$. (1 pto)** Sustituimos $c = 1$ en la expresión original para obtener la función concreta: $$f(x) = \begin{cases} 4x - 1.5 & \text{si } x \le 1 \\ (x - 2)^2 + 1.5 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Analizamos cada rama para la representación: * **Rama 1 ($x \le 1$):** Es una **recta** con pendiente $4$ y ordenada en el origen $-1.5$. Pasa por el punto de corte $(1, 2.5)$. * **Rama 2 ($x > 1$):** Es una **parábola** con vértice en $(2, 1.5)$. Abre hacia arriba. Empieza en el punto $(1, 2.5)$, lo que confirma la continuidad hallada en el apartado anterior. 💡 **Tip:** Para representar una parábola del tipo $(x-h)^2 + k$, el vértice está directamente en $(h, k)$. En este caso, $h=2$ y $k=1.5$.

Para dibujar la gráfica, situamos el punto de unión $(1, 2.5)$. A la izquierda dibujamos la semirrecta y a la derecha el tramo de parábola que contiene al vértice. El comportamiento global es una línea recta que se transforma suavemente en una curva parabólica en $x=1$. ✅ **Representación final:**