Análisis de la propagación de un virus informático

**a) Averigua, si existe, el momento en el que el virus dejara de propagarse. (0.5 ptos)** En problemas de este tipo, la **propagación** del virus se refiere a la tasa de variación o ritmo con el que se infectan nuevos ordenadores. Esta tasa viene dada por la derivada de la función $v(t)$. El virus dejará de propagarse cuando dicha tasa sea igual a cero ($v'(t) = 0$). Primero, calculamos la derivada de $v(t) = 48t^2 - 2t^3$: $$v'(t) = 48 \cdot 2t - 2 \cdot 3t^2$$ $$v'(t) = 96t - 6t^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una potencia $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$. La derivada nos indica la velocidad con la que cambia el número de afectados.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$96t - 6t^2 = 0$$ Para resolver esta ecuación de segundo grado incompleta, podemos sacar factor común $6t$: $$6t(16 - t) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $6t = 0 \implies t = 0$ (es el instante inicial). 2. $16 - t = 0 \implies t = 16$. El virus deja de propagarse (es decir, el crecimiento se detiene para empezar a decrecer) a las 16 horas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 16 \text{ horas}}$$

**b) Estudia cuando aumenta y cuando disminuye la propagacion del virus. (0.5 ptos)** Para estudiar el aumento y disminución, analizamos el signo de la derivada $v'(t) = 6t(16-t)$ en el dominio del problema. Dado que el tiempo $t$ no puede ser negativo, empezamos desde $t=0$. Además, el virus desaparece cuando $v(t)=0$, lo que ocurre en $2t^2(24-t)=0 \implies t=24$. **Tabla de signos de $v'(t)$:** $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,16) & 16 & (16,24) \\ \hline v'(t) & + & 0 & - \\ \hline v(t) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 16)$, tomamos $t=1$: $v'(1) = 96(1) - 6(1)^2 = 90 > 0$ (**Aumenta**). - En el intervalo $(16, 24)$, tomamos $t=20$: $v'(20) = 96(20) - 6(20)^2 = 1920 - 2400 = -480 < 0$ (**Disminuye**). 💡 **Tip:** Una función aumenta donde su derivada es positiva y disminuye donde su derivada es negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aumenta en } (0, 16) \text{ horas y disminuye en } (16, 24) \text{ horas}}$$

**c) ¿En que momento se produce el numero maximo de ordenadores afectados? ¿cuantos ordenadores? (0.5 ptos)** Según el estudio realizado en el apartado anterior, el número máximo de ordenadores afectados se produce en el punto donde la función pasa de crecer a decrecer, es decir, en el punto crítico $t = 16$ horas. Para calcular el número de ordenadores, sustituimos $t = 16$ en la función original $v(t)$: $$v(16) = 48(16)^2 - 2(16)^3$$ $$v(16) = 48 \cdot 256 - 2 \cdot 4096$$ $$v(16) = 12288 - 8192$$ $$v(16) = 4096$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo a las } 16 \text{ horas con } 4096 \text{ ordenadores afectados}}$$