Probabilidad y Estadística 2019 Castilla la Mancha
Probabilidad de créditos impagados en un banco
5. En un cierto banco el $5\%$ de los creditos concedidos son para la compra de una casa. De los creditos concedidos para la compra de una casa, el $40\%$ resultan impagados. Del resto de creditos concedidos que no son para la compra de una casa, se sabe que el $10\%$ de ellos resultan impagados.
a) Calcula la probabilidad de que elegido un credito al azar sea de los impagados. (0.75 ptos)
b) Sabiendo que un credito se ha pagado, ¿cual es la probabilidad de que el credito fuera para una casa? (0.75 ptos)
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información de forma clara:
- $C$: El crédito es para la compra de una **casa**.
- $\bar{C}$: El crédito **no** es para la compra de una casa.
- $I$: El crédito resulta **impagado**.
- $\bar{I}$: El crédito se ha **pagado** (no impagado).
Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades:
- $P(C) = 0.05$ (el $5\%$ son para casa).
- $P(\bar{C}) = 1 - 0.05 = 0.95$.
- $P(I|C) = 0.40$ (el $40\%$ de los de casa son impagados).
- $P(I|\bar{C}) = 0.10$ (el $10\%$ del resto son impagados).
Presentamos estos datos en un diagrama de árbol:
Paso 2
Probabilidad total de un crédito impagado
**a) Calcula la probabilidad de que elegido un credito al azar sea de los impagados. (0.75 ptos)**
Para calcular la probabilidad de que un crédito sea impagado ($I$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el crédito puede ser impagado proviniendo tanto de la categoría de 'casa' como de la de 'no casa'.
La fórmula es:
$$P(I) = P(C) \cdot P(I|C) + P(\bar{C}) \cdot P(I|\bar{C})$$
Sustituimos los valores obtenidos del enunciado:
$$P(I) = (0.05 \cdot 0.40) + (0.95 \cdot 0.10)$$
$$P(I) = 0.02 + 0.095$$
$$P(I) = 0.115$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llegan a un suceso final (en este caso $I$) nos da la probabilidad total de dicho suceso.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(I) = 0.115}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Sabiendo que un credito se ha pagado, ¿cual es la probabilidad de que el credito fuera para una casa? (0.75 ptos)**
En este apartado nos piden la probabilidad de que el crédito sea para una casa ($C$) sabiendo que se ha pagado ($\bar{I}$). Esto es una probabilidad a posteriori, por lo que usaremos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(C|\bar{I}) = \frac{P(C \cap \bar{I})}{P(\bar{I})}$$
Primero, calculamos la probabilidad de que un crédito se haya pagado ($P(\bar{I})$). Como es el suceso contrario a ser impagado:
$$P(\bar{I}) = 1 - P(I) = 1 - 0.115 = 0.885$$
Ahora calculamos el numerador $P(C \cap \bar{I})$:
$$P(C \cap \bar{I}) = P(C) \cdot P(\bar{I}|C) = 0.05 \cdot 0.60 = 0.03$$
Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(C|\bar{I}) = \frac{0.03}{0.885} \approx 0.0339$$
Si queremos expresarlo como fracción exacta:
$$P(C|\bar{I}) = \frac{30}{885} = \frac{2}{59}$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' (ser para una casa) dado un 'efecto' observado (que se ha pagado).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|\bar{I}) = \frac{2}{59} \approx 0.0339}$$