Intervalo de confianza para la media del contenido de azúcar

**a) Halla el intervalo de confianza del $97\%$ para el contenido medio de azucar en un frasco de $500$ gramos de ketchup. (1 pto)** Primero, identificamos los datos del problema: - Muestra ($n = 10$): $60, 80, 120, 95, 65, 70, 75, 85, 100, 90$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ Calculamos la media muestral $\bar{x}$ sumando todos los valores y dividiendo por el tamaño de la muestra: $$\bar{x} = \frac{60 + 80 + 120 + 95 + 65 + 70 + 75 + 85 + 100 + 90}{10} = \frac{840}{10} = 84$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$. $$\boxed{\bar{x} = 84\text{ gramos}}$$

Para un nivel de confianza del $97\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ 2. $\alpha/2 = 0.015$ 3. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$. Consultando la tabla de la distribución Normal Estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985 \implies z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, busca el más cercano o realiza una interpolación lineal. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{10}{\sqrt{10}} = 2.17 \cdot \sqrt{10} \approx 2.17 \cdot 3.1623 \approx 6.86$$ Ahora, calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $84 - 6.86 = 77.14$ - Límite superior: $84 + 6.86 = 90.86$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{97\%} = (77.14, 90.86)}$$

**b) Razona y explica que se podra hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza (0.5 ptos)** La amplitud del intervalo de confianza viene dada por la fórmula: $$A = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Si queremos que la amplitud $A$ disminuya manteniendo el mismo nivel de confianza (lo que significa que $z_{\alpha/2}$ se mantiene constante), podemos actuar sobre los otros parámetros: 1. **Aumentar el tamaño de la muestra ($n$):** Al aumentar el denominador $\sqrt{n}$, el valor de la fracción disminuye y, por tanto, la amplitud se reduce. 2. **Disminuir la desviación típica ($\sigma$):** Aunque $\sigma$ suele ser un parámetro fijo de la población, si pudiéramos obtener una medición más precisa que redujera la variabilidad, la amplitud disminuiría. En la práctica estadística, la forma habitual de estrechar el intervalo sin perder confianza es **aumentar el tamaño de la muestra**. 💡 **Tip:** Recuerda que la amplitud es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño muestral. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Para reducir la amplitud manteniendo la confianza se debe aumentar el tamaño de la muestra } n}$$

**c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del contenido en gramos de azucar es de $85$ gramos con una probabilidad del $98.5\%$? Razona tu respuesta. (0.5 ptos)** **No**, esa afirmación es incorrecta por dos razones fundamentales: 1. **Naturaleza de $\mu$:** En estadística clásica (frecuentista), la media poblacional $\mu$ es un valor fijo, constante y desconocido. No es una variable aleatoria, por lo que no tiene sentido asignarle una probabilidad de que sea un valor concreto como $85$. El intervalo es lo que varía de una muestra a otra, no el parámetro $\mu$. 2. **Interpretación del $98.5\%$:** El valor $0.985$ es simplemente la probabilidad acumulada hasta $z_{\alpha/2} = 2.17$ en la distribución normal estándar ($P(Z \le 2.17)$). Se utiliza para calcular el nivel de confianza, pero no representa la probabilidad de que la media tome un valor específico. El nivel de confianza del $97\%$ significa que, si repitiéramos el muestreo muchas veces, el $97\%$ de los intervalos calculados contendrían el verdadero valor de $\mu$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No. } \mu \text{ es un parámetro fijo y el } 98.5\% \text{ es solo un valor intermedio del cálculo crítico.}}$$