Matrices conmutables

**1. Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ a & b \end{pmatrix}$, encontrar los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que las matrices conmuten. (1.5 ptos)** Decimos que dos matrices $A$ y $B$ conmutan si se cumple la igualdad: $$A \cdot B = B \cdot A$$ 💡 **Tip:** Recuerda que, en general, el producto de matrices **no es conmutativo**. Es decir, normalmente $A \cdot B \neq B \cdot A$, por lo que este ejercicio nos pide forzar una situación especial. En primer lugar, calculamos el producto $A \cdot B$ multiplicando filas de $A$ por columnas de $B$: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 3\cdot a & 1\cdot 5 + 3\cdot b \\ 3\cdot 1 + 1\cdot a & 3\cdot 5 + 1\cdot b \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 + 3a & 5 + 3b \\ 3 + a & 15 + b \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos el producto $B \cdot A$ siguiendo el mismo procedimiento (fila de $B$ por columna de $A$): $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ a & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 5\cdot 3 & 1\cdot 3 + 5\cdot 1 \\ a\cdot 1 + b\cdot 3 & a\cdot 3 + b\cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 + 15 & 3 + 5 \\ a + 3b & 3a + b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ a + 3b & 3a + b \end{pmatrix}$$

Para que las matrices conmuten, igualamos término a término los resultados obtenidos de $A \cdot B$ y $B \cdot A$: $$\begin{pmatrix} 1 + 3a & 5 + 3b \\ 3 + a & 15 + b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ a + 3b & 3a + b \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de cuatro ecuaciones: 1) $1 + 3a = 16$ 2) $5 + 3b = 8$ 3) $3 + a = a + 3b$ 4) $15 + b = 3a + b$

Resolvemos las ecuaciones más sencillas para hallar los valores de $a$ y $b$: De la ecuación (1): $$1 + 3a = 16 \implies 3a = 15 \implies a = \frac{15}{3} = 5$$ De la ecuación (2): $$5 + 3b = 8 \implies 3b = 3 \implies b = \frac{3}{3} = 1$$ Ahora comprobamos si estos valores satisfacen las otras dos ecuaciones: - En la ecuación (3): $3 + (5) = (5) + 3(1) \implies 8 = 8$ (Se cumple). - En la ecuación (4): $15 + (1) = 3(5) + (1) \implies 16 = 16$ (Se cumple). Como los valores satisfacen todas las condiciones impuestas por la igualdad de matrices, la solución es válida. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 5, \quad b = 1}$$